Question

Determina el dominio, simetría, periodicidad y cortes con los ejes de la función. f(x)=cos2x-senx

Answer 1

Las funciones seno y coseno tienen su dominio en todo $\mathbb R$ entonces $\mbox{Dom}f = \mathbb R$

Simetrías

Con el eje Y:
$f(-x) = \cos(-2x)-\sin(-x)\\ \\ f(-x) = \cos(2x)+\sin x\\ \\ f(-x) \neq f(x)$

no es simétrico con el eje Y

Periodo:

$f(x+T)=f(x)\;,T\neq 0\\ \\ \cos(2x+2T)-\sin(x+T)=\cos (2x)-\sin x\\ \\ \cos(2x+2T)-\cos(2x)=\sin(x+T)-\sin x\\ \\ -2\sin(2x+T)\sin(T)=2\cos(x+\frac{T}{2})\sin(\frac{T}{2})\\ \\ -2\sin(2x+T)\sin(\frac{T}{2})\cos(\frac{T}{2})=\cos(x+\frac{T}{2})\sin(\frac{T}{2})\\ \\ -2\sin(2x+T)\cos(\frac{T}{2})=\cos(x+\frac{T}{2})\vee T=2k\pi$

$-4\sin(x+\frac{T}{2})\cos(x+\frac{T}{2})\cos(\frac{T}{2})=\cos(x+\frac{T}{2})\vee T=2k\pi\\ \\ -4\sin(x+\frac{T}{2})\cos(\frac{T}{2})=1\vee T=2k\pi\\ \\ \text{Si }x=-T/2 \text{ entonces }-4\sin(x+\frac{T}{2})\cos(\frac{T}{2})=1 \text{ No se cumple }\\ \text{Por lo tanto }T=\min\{2k\pi:\k\in \mathbb Z\} \text{ y } T\ \textgreater \ 0\; , \text{ es decir }$

                                             $\boxed{T=2\pi}$