Respuestas
Término general de una prog. geométrica: an = a₁ · r ⁿ⁻¹
Según enunciado nos dice que:
a₁ + a₂ = 24... despejando a₂ = 24 - a₁
También nos dice que ... r = a₁ /4
Aplicando ahora la fórmula de arriba...
a₂ = a₁ · r ²⁻¹
a₂ = a₁ · r ... sustituyendo ahora "a₂" y "r"...
24 - a₁ = a₁ · a₁ /4 ... resolviendo...
96 -4a₁ = a₁² -----------> a₁² +4a₁ -96 = 0 ... para mejor visualización sustituiré a₁ = x .... quedando...
x² +4x -96 = 0
Ecuación de 2º grado a resolver por fórmula general:
_______
–b ± √ b² – 4ac
x₁,x₂ = ———————
2a
x₁ = (-4+20) / 2 = 8
x₂ = (-4-20) / 2 = -12
O sea, tenemos dos soluciones para el primer término a₁
Por tanto podremos realizar dos progresiones distintas pero que cumplen con las condiciones impuestas, veamos con la primera donde a₁= 8
Si el primer término es 8, como la suma con el siguiente término es 24, el siguiente será 24-8 = 16 = a₂
Y de ahí deducimos la razón que será 2 ya que el 2º término se calcula multiplicando el 1º por 2.
Resulta bien simple construir los 5 términos de la progresión ya que el 3º sería 16×2 = 32
El 4º sería 32×2 = 64
Y finalmente el 5º sería 64×2 = 128
Así hallaríamos todos los términos aunque podría haberme apoyado en el término general también pero al ser pocos términos he considerado más práctico calcularlos uno a uno.
Calcular la suma es sumarlos todos, eso te lo dejo a ti, aunque también se puede hacer por la fórmula de suma de términos de una progresión geométrica que dice:
Sn = (an · r - a₁) / (r-1)
Si sustituimos valores...
Sn = (128·2 -8) / (2-1) = 256 - 8 = 248 es la respuesta.
Para la otra solución de la ecuación (-12) te dejo a ti que lo resuelvas según este mismo procedimiento.
Saludos.