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Regla:
{\displaystyle {\color {Periwinkle}f'}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}(f^{-1})'}({\color {Blue}f}(x))}}}
Ejemplo para un arbitrario {\displaystyle x_{0}\approx 5.8}:
{\displaystyle {\color {Periwinkle}f'}(x_{0})={\frac {1}{4}}}
{\displaystyle {\color {Salmon}(f^{-1})'}({\color {Blue}f}(x_{0}))=4~}
En matemática, la inversa de una función {\displaystyle \,y=f(x)} es una función que, en cierta manera, "deshace" el efecto de {\displaystyle \,f} (ver el artículo función inversa para una definición formal). La inversa de {\displaystyle \,f} se denota como {\displaystyle \,f^{-1}}. Las expresiones {\displaystyle \,y=f(x)} y {\displaystyle \,x=f^{-1}(y)} son equivalentes.
Sus respectivas derivadas, asumiendo que existen, son recíprocas, tal y como se deduce a partir de la notación de Leibniz:
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1}
Eso es una consecuencia directa de la regla de la cadena, ya que
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}}
y la derivada de {\displaystyle \,x} respecto {\displaystyle \,x} es 1.
Escribiendo explícitamente la dependencia de {\displaystyle \,y} respecto {\displaystyle \,x} y el punto donde se calcula la derivada y usando la notación de Lagrange, la fórmula de la derivada de la inversa es
{\displaystyle [f^{-1}]^{\prime }(a)={\frac {1}{f^{\prime }[f^{-1}(a)]}}.}
Geométricamente, una función y su inversa tienen gráficas que son reflexiones respecto la línea {\displaystyle \,y=x}. Esta reflexión transforma el gradiente de cualquier línea en su recíproco.
Asumiendo que {\displaystyle \,f} tiene inverso en un entorno de {\displaystyle \,x} y que su derivada en este punto es distinta de cero, su inversa será diferenciable en {\displaystyle \,x} y que su derivada viene dada por la expresión anterior.