Question

Ayudenme por favor, el tema es razones trigonométricas .En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. Calcula el seno del mayor ángulo agudo.

Answer 1

TRIGONOMETRIA. Ejercicios

Adjunto imagen para verlo bien claro.

He dibujado un triángulo rectángulo donde las dimensiones son tal y como pide el ejercicio. El cateto horizontal que está como base del triángulo, mide "2x" que es el doble que el cateto que forma la altura el cual mide "x".

Nos pide calcular el seno del mayor ángulo agudo que yo he dibujado y nombrado como ángulo  $\alpha$  y hay buscar alguna fórmula que nos lleve a la solución.

Para ello he mirado en el apartado de relaciones entre razones trigonométricas y veo una que relaciona el seno y la tangente de un ángulo. Dicha fórmula dice:

$tg\ \alpha =\dfrac{sen\ \alpha }{\sqrt{1-sen^2\alpha } }$

Como conocemos la medida de los dos catetos (en forma algebraica, claro)  lo más sencillo es realizar el cociente entre ellos para obtener la tangente de ese ángulo y en este caso será:

$tg\ \alpha =\dfrac{cateto\ opuesto}{cateto\ adyacente}=\dfrac{2x}{x} =2$

Ya sabemos el valor de la tangente de  $\alpha$  así que vuelvo a la otra fórmula y sustituyo ese valor:

$2 =\dfrac{sen\ \alpha }{\sqrt{1-sen^2\alpha } }\\ \\ \\ \ ...\ elevando\ las\ dos\ partes\ al\ cuadrado\ ...\\ \\ \\ 4=\dfrac{sen^2\alpha }{1-sen^2 \alpha }\\ \\ \\ 4-4sen^2\alpha =sen^2\alpha \\ \\ \\ 4=5sen^2\alpha \\ \\ \\ sen^2\alpha =\dfrac{4}{5} =0,8\\ \\ \\ sen\ \alpha =\sqrt{0,8}=0,894$

Con lo que obtengo el valor del seno de α = 0,894 ≈ 0,9

Saludos.