Question

5. En una P.G de razón entera, la suma de sus 3 primeros términos es 21 y su producto 216. Determinar el término de lugar 10.

Answer 1

Respuesta:

$\bold{a_{10}= 1 \: 536}$

Explicación paso a paso:

Progresión Geométrica (P.G)

La suma de sus 3 primeros términos es 21

$\bold{ \to \: \: a_1 + a_2 + a_3 = 21} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (a)$

Y su producto es 216

$\bold{ \to \: \: a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 216} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (b)$

Fórmula:

$\boxed{ \bold{a_n = a_1 \cdot r^{n-1}}}$

Aplicar la fórmula en la ecuación (b)

$\bold{ \to \: \: a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 216}$

$\bold{ \to \: \: a_1 \cdot (a_1 \cdot r^{2-1}) \cdot (a_1 \cdot r^{3-1} ) = 216}$

$\bold{ \to \: \: a_1 \cdot a_1 \cdot r^{1} \cdot a_1 \cdot r^{2} = 216}$

$\bold{ \to \: \: {a_1}^{3} \cdot r^{3} = 216}$

$\bold{ \to \: \: ({a_1}\cdot r)^{3} = 216}$

$\bold{ \to \: \: {a_1}\cdot r = \sqrt[3]{216}}$

$\bold{ \to \: \: {a_1}\cdot r = 6}$

$\bold{ \to \: \: {a_1} = \frac{6}{r}}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (c)$

Aplicar la fórmula en la ecuación (a)

$\bold{ \to \: \: a_1 + a_2 + a_3 = 21}$

$\bold{ \to \: \: a_1 +( a_1 \cdot r^{2-1} ) + (a_1 \cdot r^{3-1} = 21}$

$\bold{ \to \: \: a_1 +a_1 \cdot r^{1} + a_1 \cdot r^{2} = 21}$

$\bold{ \to \: \: a_1(1 + r^{1} + r^{2}) = 21}$

Sustituir con la ecuación (c)

$\bold{ \to \: \: \frac{6}{r} (1 + r^{1} + r^{2}) = 21}$

$\bold{ \to \: \: 6(1 + r+ r^{2}) = 21r}$

$\bold{ \to \: \: 2(1 + r+ r^{2}) =7r}$

$\bold{ \to \: \: 2 +2 r + 2r^{2}=7r}$

$\bold{ \to \: \: 2r^{2} + 2r-7r + 2 =0}$

$\bold{ \to \: \: 2r^{2} - 5r + 2 =0}$

Factorizar (ver imágen)

$\bold{ \to \: \: (2r -1)(r-2) =0}$

Igualar cada factor a cero:

$\bold{ \to \: \: (2r -1) = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \to \: \: (r-2) =0}$

$\bold{ \to \: \: 2r = 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \to \: \: r = 2}$

$\bold{ \to \: \: r = \frac{1}{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \to \: \: r = 2}$

La razón debe ser entera, entonces:

$\bold{ \to \: \: r = 2}$

Reemplazar "r" en la ecuación (c)

$\bold{ \to \: \: {a_1} = \frac{6}{r}}$

$\bold{ \to \: \: {a_1} = \frac{6}{2}}$

$\bold{ \to \: \: {a_1} = 3}$

Determinar el término de lugar 10.

$\boxed{ \bold{a_n = a_1 \cdot r^{n-1}}}$

$\bold{a_{10}= 3 \cdot 2^{10 - 1}}$

$\bold{a_{10}= 3 \cdot 2^{9}}$

$\bold{a_{10}= 3 \cdot 512}$

$\bold{a_{10}= 1 \: 536}$