Question

Dada las matrices A= $\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&1&1\\2&1&0\end{array}\right]$B=$\left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&2&3\\-2&-1&0\end{array}\right]$ calcula X sabiendo que 2XA+B=At

Answer 1

Respuesta:

$X=\left[\begin{array}{ccc}-2&5/2&3/2\\0&-1&1/2\\1/2&-1/2&1/2\end{array}\right]$

Explicación paso a paso:

$2XA+B=A^t\\2XA=A^t-B\\2XAA^{-1}=(A^t-B)A^{-1}\\2X=(A^t-B)A^{-1}\\\\X=\frac{1}{2} (A^t-B)A^{-1}$

Todo esto es posible siempre y cuando A sea invertible ¿Es A invertible? Calculamos su determinante que sale det(A)=1 y como es distinto de 0 SI es invertible.

Calculas la inversa de A (supongo que sabes como y si no dimelo para ayudarte) que es:

$A^{-1}= \left[\begin{array}{ccc}-1&1&1\\2&-2&-1\\-2&-3&1\end{array}\right]$

Luego tenemos que

$A^t-B=\left[\begin{array}{ccc}1&0&2\\2&1&1\\1&1&0\end{array}\right] -\left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&2&3\\-2&-1&0\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\2&-1&-2\\3&2&0\end{array}\right]$

Y finalmente

$X=\frac{1}{2} (A^t-B)A^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\2&-1&-2\\3&2&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-1&1&1\\2&-2&-1\\-2&-3&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-2&5/2&3/2\\0&-1&1/2\\1/2&-1/2&1/2\end{array}\right]$