Respuestas
Primero repasamos teoría (por si acaso). Para poder demostrar que la igualdad es cierta a partir del método de inducción hace falta seguir dos pasos:
1. Demostrar que P(n) se cumple para el primer elemento.
2. Demostar que si P(n) es cierto (hipótesi inicial) también lo es P(n+1).
Si conseguimos realizar correctamente estas dos propiedades, quedará demostrado por inducción que esta igualdad es cierta.
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Supondré que te piden demostrarlo para n≥1.
➊ Para n=1 se ha de verificar la igualdad
1·(1+1) = 1·(1+1)·(1+2)/3 ⇒ 2 = 1·2·3/3 ⇒ 2 = 2
Vemos que cumple la primera propiedad. Así que ahora pasaremos a comprovar la segunda.
❷ Suponiendo que la igualdad 1·2 + 2·3 + .... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 es cierta (esta será nuestra hipótesi inicial), hemos de demostrar que también se cumple P(n+1) *[anotación al final]
1·2 + 2·3 + .... + n(n+1) + (n+1)(n+1+1) = (n+1)(n+1+1)(n+1+2)/3
Operamos...
[1·2 + 2·3 + .... + n(n+1)] + (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)(n+3)/3
Si te fijas, lo que hay entre corchetes es nuestra hipótesi inicial, así que lo podemos sustituir por n(n+1)(n+2)/3 quedando:
n(n+1)(n+2)/3 + (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)(n+3)/3
Nos podemos cargar todos los (n+1)(n+2) de los dos lados de la igualdad y nos queda:
n/3 + 1 = (n+3)/3
Operando...
(n+3)/3 = (n+3)/3 --> Tal y como quería demostrar.
Así pues, podemos decir que esta igualdad es cierta por inducción.
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Nota adicional:
La expresión de 1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + n(n+1) se puede escribir como ∑k(k+1) [desde k=1 hasta k=n]. Esta expresión sería P(n). Así pues nos queda que P(n+1) será:
∑k(k+1) [desde k=1 hasta k=n+1] que se podría descomponer de la siguiente forma:
∑k(k+1) [desde k=1 hasta k=n] + (n+1)(n+2). Donde la primera parte de la expresión es P(n) (nuestra hipótesi inicial). De aquí podemos seguir operando y llegaríamos al mismo resultado, pero de una forma más elegante.