el pentagono es el edificio sede del departamento de defensa de los estados unidos de América en el trabajan aproximadamente 23000 ejemplares militares y civiles y cerca de 3000 de personal de apoyo su estructura consta de cinco anillos concéntricos conectados por 10 corredores y cubre un área de 136818 metros cuadrados cada lado exterior mide 282 m de largo por 24 m de altura en el centro de este edificio se encuentra una pequeña estructura pentagonal sobre la cual se colocará un mástil que sostiene la bandera estadounidense ¿A qué distancia de la mitad de cada lado se tendría que situar el mástil?¿cuál sería la distancia del mástil a un vértice del anillo exterior del edificio?se va a construir un solo pasillo lineal que va a unir a los vértices más lejanos ¿qué longitud tendría este pasillo?¿cuánto mide el ángulo interno de cada vértice?
Respuestas
La bandera se encontrará equidistante de los lados una distancia de 194,06 metros; la distancia del mástil a un vértice del anillo exterior del edificio 239,87 metros; la longitud del pasillo es de 331,51 m y ángulo interno de cada vértice es de 72 grados.
Datos:
Lado = 282 m
Área = 136.818 m²
Para mejor comprensión, análisis y solución del problema se plantea el diagrama de la figura anexa. (ver imagen)
A) A que distancia de la mitad de cada lado se tendría que situar el mástil?
Se debe calcular la Apotema (ap) que es la distancia requerida.
El área de un polígono regular está determinada por:
A = Perímetro x Apotema/2
Perímetro (P) = n Lado
P = 5 x 282 m = 1.410 m
P = 1.410 metros
Como se tiene el área (A) se despeja la apotema.
ap = 2A/P
ap = 2(136.818 m2)/1.410 m = 194,06 m
ap = 194,06 metros
La bandera se encontrará equidistante de los lados una distancia de 194,06 metros.
B) Cual sería la distancia del mástil a un vértice del anillo exterior del edificio.
De acuerdo a la figura esta sería la longitud del radio del circulo circunscrito lo que es lo mismo que la longitud de uno de los lados del triángulo rectángulo que se forma entre el punto central, la apotema y la mitad del lado, es decir, la hipotenusa.
r² = (L/2)² + (ap)²
r² = (282/2)² + (194,06)² = 19.881 m² + 37.659,28 m² = 57.540,28 m²
r² = 57.540,28 m²
Despejando r.
r = √57.540,28 m = 239,87 m
r = 239,87 metros
C) Se va a construir un solo pasillo lineal que va a unir a los vértices más lejanos ¿Que Longitud tendría este pasillo?
De la imagen se observa que se forma un triángulo isósceles entre los lados externos del pentágono y el pasillo más largo, y se tiene la longitud de los lados externos y el ángulo diferente.
Si se observa, los ángulos α y β tiene la misma magnitud (α = β).
Aplicando la Ley de los Senos.
Pasillo/Sen 72° = 282 m/Sen α
Por teoría se conoce que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°.
180° = 72° + 2α
2α = 180° - 72° = 108°
2α = 108°
α = 108°/2 = 54°
α = 54°
Pasillo = 282 m (Sen 72°/Sen 54°) = 331,51 m
Pasillo = 331,51 m
D) ¿Cuánto mide el ángulo interno de cada vértice?
Para calcular la medida de cada interno se divide 360° entre la cantidad de ángulos internos de la figura geométrica.
∡ = 360°/n
∡ = 360°/5 = 72°
∡ = 72°
