Question

En una circunferencia de radio 5, trazamos una cuerda AB de longitud 6. Si C es el punto medio del menor de los arcos AB, ¿cuál es la longitud de la cuerda AC?

Answer 1

La construcción inicial del ejercicio siempre será uno de los factores claves para la resolución de problemas geométricos. La imagen adjunta nos dice exactamente que debemos buscar para este problema.

La longitud del segmento OA será igual al radio del círculo, como también lo será la longitud del segmento OC.

Como C es el punto medio del arco menor AB, entonces el segmento OC será perpendicular a la cuerda AB, por lo que se nos formará 2 pares de triángulos rectángulos iguales, las cuales unidas forman un deltoide.

Tenemos entonces que el triángulo ADO es un triángulo rectángulo con hipotenusa igual al radio (5), y con el cateto menor igual a la mitad de la cuerda (3). Buscaremos entonces la longitud del cateto mayor DO:

$C=\sqrt{h^2-c^2} \\\\C=\sqrt{5^2-3^2} \\\\C=4$

Como DO=4, entonces CD será igual a |CO|-|DO|=1.

Tenemos, por otro lado, el triángulo rectángulo con catetos igual a AD y CD (3 y 1 respectivamente) y con hipotenusa igual a la longitud AC que estamos buscando. Nuevamente:

$h=\sqrt{C^2+c^2} \\\\h=\sqrt{3^2+1^2} \\\\h=\sqrt{10}$

Siendo entonces la longitud de la cuerda AC igual a √10

Saludos.