Question

Un cuadrado de lado 1 y un círculo de radio √3/3 tienen el mismo centro. ¿Cuál es el valor del área de la superficie interior al círculo pero exterior al cuadrado?

Answer 1

Vamos a calcular el área del círculo, que es el primer dato que tenemos a mano:

$A_c=\pi * r^2=\pi * (\sqrt{3} /3)^2=\frac{\pi }{3}$

Ahora, véase la imagen adjunta.

Podemos dividir las áreas del cuadrado (que se encuentran dentro del círculo) en dos diferentes formas:

a) Triángulos rectángulos: corresponden a la figura verde, y si contamos todas las que existen dentro del cuadrado, tenemos 8 de estas figuras iguales.

b) Sectores circulares: corresponden a la figura azul, de las cuales existen 4 dentro del cuadrado.

Nuestro objetivo es sumar toas las áreas correspondientes a las figuras a) y b), y luego restarle al área del círculo el resultado obtenido.

a) Triángulo rectángulo:

Podemos observar que uno de los catetos es la mitad del lado del cuadrado, mientras que la hipotenusa es el radio. Necesitamos calcular el segundo cateto, para sacar el área del rectángulo:

$c=\sqrt{h^2-c^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3} }{3})^2-(0,5)^2 } =\frac{\sqrt{3} }{6}$

Tenemos el cateto, podemos calcular el área del triángulo:

$A_t=\frac{b.h}{2} =\frac{0,5*\frac{\sqrt{3} }{6} }{2} =\frac{\sqrt{3} }{24}$

b) Sector circular:

Para calcular el sector circular, necesitaremos conocer el ángulo que ocupa  cada uno. Para eso, le restaremos al giro completo los ángulos de cada triángulo rectángulo. Es decir:

$cos (\alpha )=\frac{0,5}{\frac{\sqrt{3} }{3} } \Rightarrow \alpha = 30\\\\\therefore \beta =(360-8\alpha)/4=30$

Tenemos el ángulo, calculamos el área:

$A_s=\frac{\pi*r^2*\beta }{360} =\frac{\pi * (\sqrt{3}/3)^2*30 }{360} =\frac{\pi }{36}$

Por último, el área buscada estará dado por:

$A=A_c-8*A_t-4*A_s=\frac{\pi}{3}-8*\frac{\sqrt{3} }{24} -4*\frac{\pi}{36} \\\\A\approx 0,12$

Siendo entonces el valor del área aproximadamente igual a 0,12

Saludos.