Question

Un cono circular recto invertido tiene 2 m de altura y en la parte superior el diámetro es de 1.5m. Si el cono contiene agua y la altura de la superficie del líquido es de 1.8 m, ¿cuál es el trabajo para bombear el líquido hasta la parte superior del recipiente? Valor

Answer 1

El trabajo que debe realizar el equipo de bombeo para mover toda el agua a la parte superior del recipiente será de 28229  Kgf*m,  aproximadamente.

Explicación paso a paso:  

Al dividir el líquido contenido en el tanque en infinitas capas cilíndricas de altura Δy, observamos que estas capas son de radio variable.  

Dado que trabajo es fuerza por distancia, primero calculamos la distancia a desplazar cada una de las capas cilíndricas de altura Δy.  Esta distancia es la diferencia entre el recorrido vertical total (2 m de altura) y la altura a la que se encuentra la capa cilíndrica genérica seleccionada (y). (ver figura anexa)

La fuerza a aplicar para desplazar cada una de las capas cilíndricas es su peso. Este se calcula multiplicando el peso específico del agua (1000 Kgf/m³) por el volumen de la capa cilíndrica.

$\bold{\Delta F~=~1000\cdot\pi\cdot x^{2}\cdot \Delta y}$

La variable x debe ser expresada como una función de y, por tanto usamos semejanza de triángulos o la ecuación de la recta que pasa por dos puntos conocidos.  (ver figura anexa)

$\frac{0.75}{x}~=~\frac{2}{y}\quad\Rightarrow\quad x~=~\frac{8}{3}y$

La fuerza para mover las capas cilíndricas viene dada por:

$\Delta F~=~1000\cdot\pi\cdot (\frac{8}{3}y)^{2}\cdot \Delta y\quad\Rightarrow$

$\Delta F~=~\frac{64000\cdot\pi}{9}y^{2}\cdot \Delta y$

El trabajo necesario para mover toda el agua viene dado por:

$T~=~\int_{0}^{1.8}{[(2~-~y)\cdot(\frac{64000\cdot\pi}{9}y^{2})}]}\,dy\qquad\Rightarrow$

$T~=~\frac{64000\cdot\pi}{9}\int_{0}^{1.8}{[(2~-~y)\cdot y^{2}}]}\,dy~=~\frac{64000\cdot\pi}{9}\int_{0}^{1.8}{(2\cdot y^{2}~-~y^{3})}}\,dy\qquad\Rightarrow$

$T~=~\frac{64000\cdot\pi}{9}\cdot[\frac{2}{3}\cdot y^{3}~-~\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{1.8}\qquad\Rightarrow$

$\bold{T~=~\frac{44928\cdot\pi}{5}\quad Kgf\cdot m}$

El trabajo que debe realizar el equipo de bombeo para mover toda el agua a la parte superior del recipiente será de 28229  Kgf*m,  aproximadamente.