Question

¿qué le sucedería a la masa de un planeta si su radio (a) se duplica, (b) se reduce a la mitad mientras que la densidad se mantiene constante

Answer 1

Sea M la masa del planeta, R el radio del planeta y δ la densidad constante.

Sabemos que la densidad está dada por:

$\delta = \frac{M}{V}$

Donde V es el volumen del planeta (vamos a considerar también al planeta como una esfera uniforme). Por lo tanto, el volumen estará dado por:

$V=\frac{4}{3} \pi r^3$

Sustituyéndolo en la primera ecuación:

$\delta = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi.R^3 }$

Antes de analizar, haremos una última cosa que será despejar el valor de M para ver su estado inicialmente:

$\delta = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi.R^3 } \Rightarrow M=\delta * \frac{4}{3}\pi.R^3=x$

Llamaremos x a toda la expresión que representa M, para utilizarlo más adelante.

a) Radio duplicado:

Tendremos entonces que el nuevo radio será igual a 2R, por lo tanto:

$M=\delta * \frac{4}{3}\pi.(2R)^3\\\\M=\delta * \frac{4}{3}\pi.8R^3\\\\M=8(\delta * \frac{4}{3}\pi.R^3)\\\\M=8x$

Comparando el valor de M inicialmente (x), con el valor de M con su radio duplicado (8x), podemos decir entonces que la masa del planeta se verá multiplicado por 8.

b) Radio reducido a la mitad:

$M=\delta * \frac{4}{3}\pi.(R/2)^3\\\\M=\delta * \frac{4}{3}\pi.R^3/8\\\\M=(\delta * \frac{4}{3}\pi.R^3)/8\\\\M=x/8$

Nuevamente comparando ambos valores de x, podemos decir que la masa del planeta se verá reducido por un factor de 8.

Por lo tanto:

a) La masa será 8 veces más grande que la inicial.

b) La masa será 8 veces más pequeña que la inicial.

Saludos.