Question

Realice la gráfica e identifique el tipo de superficie de las siguientes ecuaciones, sugerencia: Es necesario realizar el proceso de complementación de cuadrados:

z^2=x+y^2/4

Answer 1

La expresión mostrada tiene como gráfica un paraboloide hiperbólico.

Explicación paso a paso:

Para aplicar el método de complementación de cuadrados podemos en esta expresión pasar los dos términos cuadráticos del mismo miembro y queda:

$z^2-\frac{y^2}{4}=x$

Al primer miembro le aplicamos diferencia de cuadrados:

$(z-\frac{y}{2})(z+\frac{y}{2})=x$

La gráfica se puede confeccionar hallando las curvas intersección con los planos. esto se hace reemplazando una de las variables a la vez por 0. la intersección con el plano xy se obtiene haciendo z=0:

$x=\frac{y^2}{4}$

Como se ve es una parábola con vértice en el origen y eje de simetría igual a y=0.

Haciendo x=0 se halla la intersección con el plano yz:

$(z-\frac{y}{2})(z+\frac{y}{2})=0\\z^2-\frac{y^2}{4}=0\\z=\ñ\frac{y}{4}$

Son dos rectas que se cruzan en el origen.

Haciendo y=0 se llega a la intersección con el plano xz, dando otra parábola.

No obstante se puede recurrir a un software como Geogebra, de donde obtenemos lo que se deducía a partir de la forma de la expresión, que se trata de un paraboloide hiperbólico. La gráfica está en la imagen adjunta.