Question

Ejercicio b.


Utilizar la definición de Sumas de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f(x)=x^2+5 en el intervalo [- 2, 2] en donde n= 5.


Siga los siguientes pasos:

Graficar la función f(x) en Geogebra.

Ubique con la ayuda de Geogebra los cinco (5) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f(x).


Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con una partición de n= 5.

Answer 1

Utilizando la definición de la Suma de Riemann la aproximación del área bajo la curva de la función f(x) en el intervalo [-2, 2] para una partición de n = 5 es:  

(sumatoria de i=1 hasta n) ∑ f(x_i)Δx = 25.79 u²  

En la imagen se puede ver la ubicación de los rectángulos (5) que representación gráfica del área bajo la curva.  

Área por integral definida:

A = 25.333 u²

Explicación paso a paso:

Suma de Riemann es la aproximación del área bajo la curva en un intervalo.  

Sea, f(x) =x²+5 en el intervalos [-2, 2] con n = 5;  

La n-ésima Suma de Riemann:  

(sumatoria de i=1 hasta n) ∑ f(x_i)Δx  

Calculo de Δx;  

[-2, 2] siendo: a = -2, b = 2;  

Δx = (b-a)/n  

Δx = (2-(-2))/n  

Δx = 4/n  

calculo de x_i;  

x_i = a + iΔx  

Sustituir;  

x_i = -2 + 4i/n  

∑ f(x_i)Δx Sustituir;  

∑ f(-2+4i/n)4/n  

(sumatoria de i=1 hasta n)∑ [(-2+4i/n)²+5]4/n  

Para i = 1 y n = 5;

[(-2+4(1)/5)²+5]4/5

= [(36/25)+5]4/5  

= 5.152

Para i = 2 y n = 5;

[(-2+4(2)/5)²+5]4/5

= [(4/25)+5]4/5  

= 4.128

Para i = 3 y n = 5;

[(-2+4(3)/5)²+5]4/5

= [(4/25)+5]4/5  

= 4.128

Para i = 4 y n = 5;

[(-2+4(5)/5)²+5]4/5

= [(36/25)+5]4/5  

= 5.152

Para i = 5 y n = 5;

[(-2+4(5)/5)²+5]4/5

= (4+5)4/5  

= 7.2

∑[(-2+4i/n)²+5]4/n = 2(5.152)+2(4.128)+7.2 = 25.76 u²

Calculo de la integral definida es el área bajo la curva:

$A = \int\limits^2_{-2} {(x^{2}+5) } \, dx$

Aplicar propiedad de la suma:

$A = \int\limits^2_{-2} x^{2}\, dx +5 \int\limits^2_{-2} \, dx$

= x³/3 = 16/3

=5 x = 20

A = 16/3+20

A = 25.333 u²