Question

Resuelve las siguientes ecuaciones (p.47): 368. tan⁻¹(2x) - π/4 = tan⁻¹x 369. sen⁻¹x + sen⁻¹(2x) = π/2

Answer 1

Al resolver las ecuaciones trigonométricas se obtiene:

368. x = 14°

        x = 81.3°

369.  x = √5/5

Explicación:

368. tan⁻¹(2x) - π/4 = tan⁻¹x

tan⁻¹(x) = 1/tan(x)

sustituir;

1/tan(2x) -  π/4 = 1/tan(x)

Aplicar identidad trigonométrica;

tan(2x) = 2 tan(x)/1-tan²(x)

Sustituir;

1/2 tan(x)/1-tan²(x) -  π/4 = 1/tan(x)

1-tan²(x)//2 tan(x)  -  π/4= 1/tan(x)

[1-tan²(x) - 2π tan(x)]/8 tan(x) = 1/tan(x)

multiplicar por tan(x) a ambos lados;

[1-tan²(x) - 2π tan(x])/8 = 1

1-tan²(x) - 2π tan(x) = 8

tan²(x) + 2π tan(x) + 7 = 0

Aplicar cambio de variable;

tan(x) = u

u² + 2π u+ 7 = 0

Aplicar la resolvente;

u₁,₂ = -2π±√(2π²-4(1)(7))/2

u₁,₂ = -π±√(11.5)

u₁,₂ = (-π±3.4)

u₁ = 0.25

u₂ = -6.54

Devolver en cambio de variable;

tan(x) = 0.25 ⇒ x = tan¹(0.25) = 14°

tan(x) = -6.54 ⇒ x = tan¹(-6.54) = 81.3°

369. sen⁻¹(x) + sen⁻¹(2x) = π/2

sen⁻¹x = 1/sen(x)

Aplicar cambio de variable;

α = sen⁻¹(x)  ⇒ sen(α) = x

β =  sen⁻¹(2x)  ⇒ sen(β) = 2x

α + β = π/2

cos(α + β) = Cos(π/2)

cos(α + β) = 0

Aplicar identidad trigonométrica;

cos(α + β) = cos(α) cos(β) - sen(α) sen(β)

= cos(α) cos(β) - sen(α) sen(β)

siendo;

cos(α) = √1-sen²(α) = √1-x²

cos(β) = √1-sen²(2β) = √1-4x²

Sustituir;

= (√1-x²)(√1-4x²) - (x)(2x) = 0

(√1-x²)(√1-4x²) = (x)(2x)

√(1-5x²+4-x⁴) = 2x²

Elevar al cuadrado ambos lados;

√(1-5x²+4x⁴)² = (2x²)²

1-5x²+4x⁴ = 4x⁴

5x² = 1

x² = 1/5

x = √(15/5)

x = √5/5