Question

422. Un sastre desea cortar de un trozo rectangular de tela de 6 m de largo y 4 metros de ancho una pieza con forma elíptica, de modo que sus lados mayor y menor abarquen el ancho y el largo de la misma. Para realizar esto el sastre va a utilizar dos tachuelas y una cuerda para dibujar la elipse y así después cortarla. Si se representa la elipse en un plano cartesiano, de modo que su centro sea el origen y su eje focal paralelo al eje x, es correcto afirmar que las tachuelas: A. deben ubicarse en los puntos (3, 0) y (—3, O). qué son los vértices de la elipse. B. deben ubicarse en los puntos (√5, 0) y (—√5, 0), que son los focos de la elipse. C. deben ubicarse en los puntos (0, 2) y (0, —2), que son los cortes con el eje normal. D. deben ubicarse en los puntos (√5, 0) y (3, O), que corresponden al foco y un vértice de la elipse

Answer 1

Las tachuelas deben ubicarse en los puntos (√5, 0) y (—√5, 0), que son los focos de la elipse.

Explicación:

La elipse es el lugar geométrico de un punto cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es siempre la misma.

Ya que la elipse mide 6 m entre vértices, es decir,  2a  =  6; y 4 m entre puntos de corte con el eje normal, es decir, 2b  =  4, entonces:

2a  =  6        ⇒        a  =  3

2b  =  4        ⇒        b  =  2

En la elipse, la relación de distancias del centro al vértice (a), del centro al punto de corte con el eje normal (b) y al foco (c) es:

a²  =  b²  +  c²        ⇒        c²  =  a²  -  b²         ⇒      

c²  =  (3)²  -  (2)²  =  5        ⇒        c  =  √5

Dado que el centro de la elipse es el punto (0, 0), los focos serán:

(-√5, 0)    ∧    (√5, 0)

y en esos puntos se deben ubicar las tachuelas para el trazado.