Halle a, b y c para que el polinomio y4+3y3+ay2+by+c sea divisible por y3+y2-4y-4.
A. a=8, b=2, c=12
B. a=2, b=12, c=8
C. a=-12, b=-2, c=-8
D. a=12, b=12, c=8
E. a=-2, b=-12, c=-8
ayudenme por fabor pliiisss
Respuestas
Los valores que deben tener a, b y c son -2, -12 y -8 respectivamente
Para que el polinomio dado pueda ser divisible por el denominador, este se debe hacer cero en cada una de las raíces de este denominador, que son
y³ + y² - 4y - 4 = (y - 2)(y + 2)(y + 1), es decir y = 2, y = -2, y = -1
Por lo tanto y^4+3y³+ay²+by+c se debe hacer cero para esos valores de y, es decir
2^4 + 3(2)³ + a(2)² + 2b + c = 0
16+24 + 4a + 2b + c = 0
4a + 2b + c = -40
(-2)^4 +3(-2)³ + a(-2)² + b(-2) + c = 0
16 - 24 + 4a - 2b + c = 0
4a -2b + c = 8
(-1)^4 + 3(-1)³ + a(-1)² + b(-1) + c = 0
1 - 3 + a - b + c = 0
a - b + c = 2
Por lo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales
4a + 2b + c = -40
4a -2b + c = 8
a - b + c = 2
De la tercera ecuación tenemos c = 2 + b - a y si sustituimos esto en las dos ecuaciones restantes, tenemos
4a + 2b + (2 + b - a) = -40 ⇒ 3a + 3b = -42 ⇒ a + b = -14
4a -2b + (2 + b - a) = 8
3a - b = 6
a + b = -14
3a - b = 6
Si sumamos las ecuaciones, nos queda
a + b + 3a - b = -14 + 6
4a = -8
a = -2
(-2) + b = -14
b = -12
c = 2 + b -a = 2 - 12 + 2 = -8
Por lo que el numerador es
y^4 + 3y³ -2y² - 12y - 8