Question

Considere la curva de ecuación y

y^2+x^2+sen(xy) = 8xy + cos(2x) + 3.

Determine

(a) deriva y simplifiquela al máximo.

(b) La ecuación de las rectas tangente y normal a la curva en el punto (0, 2)

Answer 1

Para hallar la derivada da la curva con la ecuación planteada vamos a usar el método de la derivada implícita, puesto que no es posible despejar la variable y poniendola en función de x, este método consiste en derivar toda la expresión pero considerando a y como una función en sí, de modo que en cada término donde y esté presente se aplica la regla de la cadena si solo está y o del producto si en ese término hay otras variables.

A) Tenemos pues:

$f(x,y): y^2+x^2+sen(xy)=8xy+cos(2x)+3\\\\f'(x,y):2y.y'+2x+cos(xy).(y+xy')=8y+8xy'-2sen(2x)$

Si operamos y ponemos en un miembro todos los términos que tengan y' queda:

$f'(x,y):2y.y'+2x+ycos(xy)+xy'cos(xy)=8y+8xy'-2sen(2x)\\\\f'(x,y):2y.y'-8xy'+xy'cos(xy)=8y-2sen(2x)-2x-ycos(xy)$

Ahora toca despejar y':

$f'(x,y):2y.y'-8xy'+xy'cos(xy)=8y-2sen(2x)-2x-ycos(xy)\\\\f'(x,y):y'(2y-8x+xcos(xy))=8y-2sen(2x)-2x-ycos(xy)\\\\y'=\frac{8y-2sen(2x)-2x-ycos(xy)}{2y-8x+xcos(xy)}$

Pues bien, la derivada ya no se puede simplificar.

B) la pendiente de la recta tangente en (0,2) la da el valor de la derivada en ese punto:

$y'(0,2)=\frac{8.2-2sen(2.0)-2.0-2cos(0.2)}{2.2-8.0+0.cos(0.2)}=\frac{16-2}{4}=\frac{7}{2}$

Tenemos para la recta tangente:

$y-y_0=m(x-x_0)\\\\y-2=\frac{7}{2}x\\\\\frac{y-2}{7}=\frac{x}{2}$

el vector director de esta recta es (2,7), la recta normal es la que pasa por ese punto y su vector director es perpendicular a este. Para encontrar dicho vector recurrimos al producto escalar:

$(x_v,y_v).(2,7)=0\\2x_v+7y_v=0$

Un vector que cumple la condición es (7,-2), por lo que la recta normal es, teniendo en cuenta que tiene que pasar por (0,2):

$\frac{y-2}{-2}=\frac{x}{7}$

Resumiendo, las rectas tangente y normal en el punto (0,2) son respectivamente:

$\frac{y-2}{7}=\frac{x}{2}\\\\\frac{y-2}{-2}=\frac{x}{7}$

Se adjunta el gráfico de la función (en azul), con la recta tangente (verde) y la recta normal (naranja)