Considere la curva de ecuación y
y^2+x^2+sen(xy) = 8xy + cos(2x) + 3.
Determine
(a) deriva y simplifiquela al máximo.
(b) La ecuación de las rectas tangente y normal a la curva en el punto (0, 2)
Respuestas
Para hallar la derivada da la curva con la ecuación planteada vamos a usar el método de la derivada implícita, puesto que no es posible despejar la variable y poniendola en función de x, este método consiste en derivar toda la expresión pero considerando a y como una función en sí, de modo que en cada término donde y esté presente se aplica la regla de la cadena si solo está y o del producto si en ese término hay otras variables.
A) Tenemos pues:
Si operamos y ponemos en un miembro todos los términos que tengan y' queda:
Ahora toca despejar y':
Pues bien, la derivada ya no se puede simplificar.
B) la pendiente de la recta tangente en (0,2) la da el valor de la derivada en ese punto:
Tenemos para la recta tangente:
el vector director de esta recta es (2,7), la recta normal es la que pasa por ese punto y su vector director es perpendicular a este. Para encontrar dicho vector recurrimos al producto escalar:
Un vector que cumple la condición es (7,-2), por lo que la recta normal es, teniendo en cuenta que tiene que pasar por (0,2):
Resumiendo, las rectas tangente y normal en el punto (0,2) son respectivamente:
Se adjunta el gráfico de la función (en azul), con la recta tangente (verde) y la recta normal (naranja)
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