Question

demuestre que la sucesión [an] definida por la fórmula de recursion an+1=1/4an+6, a1=1. converge ​

Answer 1

Para poder demostrar este hecho, lo único que debemos hacer es ver que cualquier término de la sucesión es mayor a 0 (pues se suman números positivos siempre), por lo que

an > 0, para todo n entonces se tiene que

a(n+1) = 1/(4an) + 6 > 1/(4an)

a(n+1) > 1/(4an) = a(n+1) - 6

1 > [a(n+1) - 6]/a(n+1) = 1 - 6/a(n+1)

Ahora, como a(n+1) > 6, tenemos que

0 < [a(n+1) - 6]/a(n+1) <  1

0 < 1 - 6/a(n+1) < 1

-1 < -6/(an+1) < 0

0 < 6/a(n+1) < 1

0 < 1/a(n+1) < 1/6

Ahora que hemos acotado a la sucesión, podemos ver si esta divergiese, entonces tendríamos que 0 < 0 < 1/6, pero cero no puede ser menor a este así que la sucesión converge