Question

Para estudiar el comportamiento del hierro a temperaturas elevadas, es necesario diseñar un instrumento que pueda detectar (con exactitud del 1%) el cambio de volumen de un cubo de hierro de 1 cm3 cuando se calienta pasando por su temperatura de transformación polimórfica. A 911ªC, el hierro es BCC con un parámetro de red de 0,2863 nm. A 913ªC, es FCC, con parámetro de red de 0,3591 nm.
• Determina la exactitud que se requiere en el instrumento medidor.

ayuda por favor.

Answer 1

Para medir el cambio de volumen con una exactitud del 1% el instrumento medidor debe tener una incertidumbre no mayor que 67,33ppm en la medición de volumen o no mayor que 22,44ppm en la medición del arista del cubo.

Desarrollo paso a paso:

Si queremos medir el cambio de volumen debido al cambio de parámetro de red con una exactitud del 1%, tenemos que evaluar el cambio esperado de volumen, considerando un centímetro cúbico como volumen inicial a 911°C.

Además de cambiar el parámetro de red cambia el número de átomos por celda ya que en BCC, cada celda tiene el átomo central más los de los vértices que se comparten con 8 celdas contiguas, por lo que se dice que cada uno es 1/8 de átomo, tengo:

$n_{fcc}=1+\frac{1}{8}.1=2$

En la red FCC, los átomos se encuentran en los vértices y en el centro de cada cara, los átomos de los vértices se comparten entre 8 celdas y los de las caras entre dos, tengo como número de átomos por celda:

$8\frac{1}{8}+6\frac{1}{2}=4$

Con lo que se espera que las celdas bajen a la mitad, el volumen de cada una es, al inicio:

$V_{cui}=a_1^3$

Y al final:

$V_{cuf}=a_2^3$

La cantidad de celdas inicial es:

$n_{cui}=\frac{V_i}{V_{cui}}$

Y la final:

$n_{cuf}=\frac{n_{cui}}{2}=\frac{V_f}{V_{cuf}}$

Reemplazando la cantidad de celdas inicial queda:

$\frac{V_i}{2V_{cui}}=\frac{V_f}{V_{cuf}}\\\\\frac{V_f}{V_i}=\frac{V_{cuf}}{2V_{cui}}=\frac{a_2^3}{2a_1^3}$

Si reemplazamos queda:

$\frac{V_f}{V_i}=\frac{a_2^3}{2a_1^3}=\frac{(0,3591nm)^3}{2(0,2863nm)^3}=0,9986625$

Despreciamos las incertidumbres de los parámetros de red. Tengo que el volumen inicial y final quedan:

$V_i=1cm^3\\V_f=0,9986625cm^3\\\\\Delta V=V_f-V_i=0,013375cm^3$

La incertidumbre de esta medición debe ser 1% entonces queda:

$\delta \Delta V=0,01.0,013375cm^3=1,3375x10^{-4}cm^3$

Como es una resta de volúmenes los errores absolutos se suman, si consideramos el mismo error relativo para los dos volúmenes tenemos:

$\delta \Delta V=\delta V_f+\delta V_i\\\delta \Delta V=\epsilon_v V_f+\epsilon_v \delta V_i=\epsilon_v(V_f+V_i)\\\\\epsilon_v=\frac{\delta \Delta V}{V_f+V_i}=\frac{1,3375x10^{-4}cm^3}{1+0,986625}=6,733x10^{-5}=67,33ppm$

Donde $1ppm=1x10^{-6}$ es una unidad de medida de error relativo conocida como parte por millón. Y esta es la incertidumbre en la medición de los volúmenes inicial y final.

Si el instrumento medidor va a medir los lados del cubo tenemos que su incertidumbre debe ser:

$V=l^3\\\\\epsilon_v=3\epsilon_l\\\epsilon_l=\frac{\epsilon_v}{3}=\frac{67,33pm}{3}=22,44ppm$