Question

Encuentra el ángulo entre las rectas dadas*
L1:2x−y−3=0
L2:3x+4y−18=0

Answer 1

Para encontrar el ángulo entre dos rectas en el plano, vamos a hallar el ángulo que forman sus vectores directores, mediante despeje de variables, pasamos a las ecuaciones continuas de cada recta:

$L1:2x-y-3=0\\2x-3=y\\x=\frac{y+3}{2}\\\\L1:\frac{x}{1}=\frac{y+3}{2}\\\\L2:3x+4y-18=0\\3x-18=4y\\3(x-6)=4y\\\\L2:\frac{x-6}{4}=\frac{y}{3}$

Las ecuaciones continuas de una recta relacionan a un punto $(x_0,y_0)$ de la recta con su vector director $(x_v,y_v)$ de esta manera:

$\frac{x-x_0}{x_v}=\frac{y-y_0}{y_v}$

De modo que los vectores directores de cada recta son:

$v_1=(1,2)\\v_2=(4,3)$

Y tenemos que el producto escalar entre dos vectores en el plano es:

$Sean~v_1=(x_{v1},y_{v1});v_2=(x_{v2},y_{v2})\\\\v_1.v_2=||v_1||.||v_2||.cos(\alpha)=x_{v1}x_{v2}+y_{v1}y_{v2}$

Donde $\alpha$ es el ángulo que forman los vectores. Despejando queda:

$cos(\alpha)=\frac{v_1.v_2}{||v_1||.||v_2||}\\\\\alpha=arccos(\frac{v_1.v_2}{||v_1||.||v_2||})$

Reemplazando:

$||v_1||=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\\||v_2||=\sqrt{3^2+4^2}=5\\\\\alpha=arccos(\frac{1.3+2.4}{5\sqrt{5}})=\alpha=arccos(\frac{11}{5\sqrt{5}})=10,3\°$

Con lo que el ángulo que forman las rectas L1 y L2 es de 10,3°.