Question

un acauario de cristal de base cuadrada esta diseñado par contener 62,5 pies cubicos de agua ¿Cuál es el área superficial mínima del acuario?

Answer 1

Si la base del acuario es cuadrada, esto significa que su volumen, que es el dato conocido es:

$V=b^2h$

Donde b es tanto el largo como el ancho de la base y h la altura. El área superficial es:

$A(b,h)=b^2+4bh$

Suponiendo que el acuario no tiene la tapa superior. Si hacemos el cambio de variables:

$h=\frac{V}{b^2}$

Queda:

$A(b,h)=b^2+4b\frac{V}{b^2}=b^2+4\frac{V}{b}$

Ahora, para hallar el área mínima debemos tener en cuenta la condición de mínimo:

$f'(x_0)=0\\f'(x)<0,~si~x<x_0\\f'(x)>0,~si~x>x_0$

O también:

$f'(x_0)=0\\f''(x_0)>0$

Derivamos la función:

$A'(b)=2b-\frac{4V}{b^2}$

Igualándo a cero queda:

$0=2b-\frac{4V}{b^2}\\2b=\frac{4V}{b^2}\\b=\sqrt[3]{2V} =\sqrt[3]{2.62,5ft^3}= 5ft$

Si se hace la derivada segunda queda:

$A''(b)=2+\frac{8V}{b^3}$

La cual es positiva para todo valor de b positivo con lo que queda determinado que b=5ft es un mínimo.

El área mínima en cuestión es:

$A(b)=b^2+4\frac{V}{b}=(5ft)^2+\frac{4.62,5ft^3}{5ft}=75ft^2$

Con lo cual, la mínima área superficial del acuario para contener 62,5 pies cúbicos de agua es de 75 pies cuadrados.