Question

Un satélite transmisor S órbita el planeta a una altura h (en millas) por encima de la superficie terrestre, como se muestra en la figura

Answer 1

a) Si se considera a la Tierra como una esfera prefecta, en toda esfera la recta tangente en un punto es siempre perpendicular al radio que pasa por ese punto. Las rectas que surgen del satélite y los radios involucrados forman un rombo donde se cumple que:

$\theta+2.90\°+S=360\°\\\theta+S=180\°$

Por el otro lado, tenemos que la diagonal mayor de ese rombo es:

$D=h+r$

Y forma un triángulo rectángulo con uno de los radios y el segmento que sale al encuentro de este último desde S. Tenemos:

$r=D.cos(\frac{\theta}{2})\\r=(r+h)cos(\frac{\theta}{2})$

De donde despejamos h:

$r=(r+h)cos(\frac{\theta}{2})\\r=r.cos(\frac{\theta}{2})+h.cos(\frac{\theta}{2})\\r(1-cos(\frac{\theta}{2}))=h.cos(\frac{\theta}{2})\\\\h(\theta)=r\frac{1-cos(\frac{\theta}{2})}{cos(\frac{\theta}{2})}$

b) Tenemos que para h=200mi es:

$200mi=4000mi\frac{1-cos(\frac{\theta}{2})}{cos(\frac{\theta}{2})}$

De aquí despejamos el ángulo:

$\frac{200mi}{4000mi}=\frac{1-cos(\frac{\theta}{2})}{cos(\frac{\theta}{2})}\\\\0,05.cos(\frac{\theta}{2})=1-cos(\frac{\theta}{2})\\1,05.cos(\frac{\theta}{2})=1\\cos(\frac{\theta}{2})=\frac{1}{1,05}\\\\\theta=2arccos(\frac{1}{1,05})=35,5\°$

Con lo que si el satélite está 200 millas por encima de la superficie el ángulo de cobertura es 35,5°.

10) Si la circunferencia se circunscribe en el triángulo ABC, tengo que los puntos A, B y C pertenecen a la circunferencia. en la figura adjunta está el triángulo en cuestión dibujado en naranja. Ahora bien, tomemos cualquier lado, por ejemplo a, tenemos que:

$\frac{a}{sen(A)}$

El resultado de esa división da la longitud del segmento MB, mostrado en la imagen adjunta, en ella se marcan en celeste los lados que completan un triángulo rectángulo donde el lado a es opuesto a un ángulo igual a A.

Bien, si volvemos a mirar la imagen, vemos que en este último triángulo rectángulo, el otro ángulo agudo N es complementario de A, y queda:

$N=90\°-A$

Ahora bien, el circucentro del triángulo es el punto donde se intersecan las tres mediatrices, y que coincide con el centro de la circunferencia. Si trazo la mediatriz de a (en verde), tengo que el ángulo O es correspondiente de A, porque CM es paralela a la mediatriz. Y como ahora sabemos que O está en el centro de circunferencia tengo:

$BO=r$

Y tengo:

$BP=\frac{a}{2}=r.cos(N)=r.cos(90\°-A)=r.sen(A)\\\\a=2r.sen(A)\\\\\frac{a}{sen(A)}=2r$