Question

Los puntos A(3 ;5) y B(4 ;1) son los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, hallar las ecuaciones de las rectas, que pasando por el tercer vértice C, dividan al ángulo recto en tres partes iguales, siendo A=36°.

Answer 1

RESOLUCIÓN.

Para resolver este problema hay que seguir los siguientes pasos:

1) Solo se tomará una solución de las 2 posibles que arroja este problema.

Se debe formar el vector AB y determinar su ángulo con el eje de las abscisas.

AB = (4 - 3, 1 - 5) = (1, -4)

θ = Arctg (-4/1 ) = - 75,96º

Como el ángulo en el punto A es de 36º se suma del ángulo θ para obtener una de las soluciones:

α = -75,96 + 36 = -39,96 º

De igual forma se obtiene el ángulo formado por BC, que en este caso es el complementario de α.

β = 90 - 39,96 = 50,04º

2) Se deben obtener las ecuaciones de las rectas de AC y BC.

Para esto hay que conseguir la pendiente y el corte con el eje Y de cada recta.

mAC = Tg(-39,96º) = -0,84

mBC = Tg(50,04º) = 1,19

LAC: Y = -0,84X + b

LBC: Y = 1,19X + b

Como el punto A pertenece a la recta LAC y el punto B a la recta LBC es posible obtener el corte con el eje de las ordenadas.

LAC: Y = -0,84X + 7,52

LBC: Y = 1,19X - 3,76

3) Se debe encontrar el punto C igualando ambas rectas y despejando tanto X como Y.

-0,84X + 7,52 = 1,19X - 3,76

X = 5,55
Y = 2,86

El punto C es (5,55 ; 2,86) 

4) Al dividir el ángulo recto en 3 partes iguales se tiene que:

λ = 90 / 3 = 30 º

Las rectas que se deben encontrar tienen que tener 30º con respecto a sus adyacentes.

Se consigue la pendiente de cada una haciedo uso de los 30º.

ArcTg(mL1) - ArcTg(-0,84) = 30º

mL1 = -0,177

ArcTg(1,19) - ArcTg(mL2) = 30º

mL2 = 0,363

Sustituyendo el punto C en la ecuación de cada recta se tiene que:

L1: -0,177X + 3,84

L2: 0,363X + 0,845

Con lo cual L1 y L2 son las rectas que dividen en 3 ángulos iguales al ángulo recto.