Question

La Secretaría de Seguridad Pública desea incluir un plan dental como parte del paquete de prestaciones. La pregunta que se plantea es: ¿Cuánto invierte un funcionario de seguridad pública y su familia en gastos dentales al año?

Una muestra de 45 funcionarios de seguridad pública revela que la cantidad media invertida el año pasado fue de $1,820 con una desviación estándar de $660.

Construya un intervalo de confianza de 95% para la media poblacional.

Al Director General de la Secretaría de Seguridad Pública se le proporcionó la información del inciso a). Éste indicó que podía pagar $1,700 de gastos dentales por funcionario de seguridad pública. ¿Es posible que la media poblacional pudiera ser de $1,700? Justifique su respuesta.


El responsable de un Ministerio Público piensa que 30% de los delitos denunciados provienen de adolescentes. Para ver la proporción de adolescentes se usará una muestra aleatoria simple de 100 delitos.

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Answer 1

Completamos la pregunta:

El responsable de un Ministerio Público piensa que 30% de los delitos denunciados provienen de adolescentes. Para ver la proporción de adolescentes se usará una muestra aleatoria simple de 100 delitos.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de esté entre 0.20 y 0.40?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de esté entre 0.25 y 0.35?

Solucionando el planteamiento tenemos:

1) a y b) El estimado del intervalo de confianza del 95% para la media poblacional se encuentra entre 1627,16 y 2012,84. En consecuencia es posible que la media poblacional pudiera ser de $1,700 ya que este valor se encuentra dentro del intervalo hallado.

2. a) La probabilidad de que la proporción muestral de esté entre 0.20 y 0.40: 0,0119.

b) la probabilidad de que la proporción muestral de esté entre 0.25 y 0.35: 0,0079.

◘Desarrollo:

Datos:

n= 45

$\overline X= 1820$

δ= 660

El planteamiento supone la aplicación de criterios de estimación estadística por intervalos, la cual consiste en determinar el valor estimado del verdadero y desconocido valor del parámetro. Aplicaremos la siguiente fórmula:

$P=[\overline X - Z(1-\frac{\alpha}{2}) *\frac{\delta}{\sqrt{n}}]< \mu < [\overline X + Z(1-\frac{\alpha}{2}) *\frac{\delta}{\sqrt{n}}]$

Hallamos el valor de Z:

1-∝= 95%

1-∝= 0,05

∝= 1-0,95

∝= 0,05

∝/2= 0,025

Z(1-∝/2) = Z(1-0,025) = Z(0,975) = 1,96 tabla de Distribución Normal.

Calculamos el valor de σ/√n:

σ/√n = 660/√45

σ/√n = 98,39

Sustituimos en la fórmula:

$P=[1820-1,96*98,39]< \mu <[1820-1,96*98,39]$

$1627,16< \mu < 2012,84$

Planteamiento 2:

Datos:

n= 100

p= 30%

Para darle respuesta a cada uno de los planteamientos empleamos la aproximación de la distribución binomial a la normal:

$P(X=x)=P(\frac{x-0,5-\mu}{\delta})\leq Z\leq\frac{x+0,5-\mu}{\delta})$

σ= √np(1-p) → 4,58

a) La probabilidad de que la proporción muestral de esté entre 0.20 y 0.40:

$P(a\leq x \leq b)= P(\frac{a-0,5-\mu}{\sigma})\leq Z\leq (\frac{b+0,5-\mu}{\sigma})$

Sustituyendo:

$P(0,20\leq x \leq 0,40)= P(\frac{0,40-0,5-0,30}{4,58})\leq Z\leq (\frac{0,20+0,5-0,30}{4,58})$

$P(0,20\leq x \leq 0,40)= P(-0,09)\leq Z\leq (-0,13)$

$P(0,20\leq x \leq 0,40)= 0,4601- 0,4482$

P(0,20≤x≤0,40)= 0,0119

b) la probabilidad de que la proporción muestral de esté entre 0.25 y 0.35:

$P(0,25\leq x \leq 0,35)= P(\frac{0,35-0,5-0,30}{4,58})\leq Z\leq (\frac{0,25+0,5-0,30}{4,58})$

$P(0,25\leq x \leq 0,35)= P(-0,1)\leq Z\leq (-0,12)$

$P(0,25\leq x \leq 0,35)= 0,4601- 0,4522$

P(0,25≤x≤0,35)= 0,0079