¿Cuántas agrupaciones de dos
elementos se pueden formar
con las letras: A, B, C y D si se
permiten repeticiones?
Respuestas
Respuesta:¿Qué son? Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por CRm,n.
¿Cómo se forman?. Para construir las combinaciones con repetición, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las combinaciones con repetición posibles.
De un elemento. Si tenemos un conjunto de cuatro elementos y queremos hacer grupos de uno, únicamente podremos hacer cuatro grupos: 1 , 2 , 3 , 4.
De dos elementos. La forma de construirlas será similar a las combinaciones sin repetición aunque con la diferencia de que al permitirse repetir los elementos tendremos que añadir a cada una de las de orden uno, el mismo elemento y todos los siguientes. Así se obtienen: 11 , 12 , 13 , 14 , 22 , 23, 24 , 33 , 34 , 44.
De tres elementos. Se pueden construir a partir de las anteriores añadiendo a cada combinación de orden dos el último elemento y todos los elementos siguientes. Se obtienen: 111 , 112 , 113 , 114 , 122 , 123 , 124 , 133 , 134 , 144 , 222 , 223 , 224 , 233 , 234 , 244 , 333 , 334 , 344 , 444.
De cuatro elementos. Se pueden obtener a partir de las de orden tres, añadiendo a cada una de ellas el último elemento y los elementos siguientes.
De cinco o más elementos. Como estamos construyendo combinaciones con repetición y los elementos se pueden repetir, podríamos continuar construyendo combinaciones de orden cinco o más elementos.
Se puede comprender mejor la formación de las combinaciones con repetición utilizando el diagrama de árbol, como se puede comprobar con la siguiente escena.
¿Cuántas hay?. Siguiendo la construcción ordenada que se ha realizado, se puede observar que:
De orden uno. Hay cuatro. CR4,1 = 4.
De orden dos. Se puede comprobar en el diagrama de árbol que las combinaciones con repetición es igual que construir las combinaciones sin repetición con un elemento más. CR4,2 = C4+1,2 = C5,2.
De orden tres. Igual que con las anteriores, se obtienen a partir de las de orden anterior como si fuesen combinaciones sin repetición de un elemento más .CR4,3 = C4+1+1,3 = C6,3.
De orden cuatro. Nos vale el mismo razonamiento anterior. CR4,4 = C4+1+1+1,4 = C7,4.
A partir de estas fórmulas es fácil deducir la siguiente fórmula para calcular el número de combinaciones con repetición CRm,n.
La siguiente escena se puede utilizar para calcular el número de combinaciones con repetición para cualquier valor de m y n.
Con esta otra escena se pueden construir las combinaciones con repetición de hasta orden cinco con un conjunto de hasta nueve elementos.
En esta última escena puedes realizar algunos ejercicios de aplicación de combinaciones con repetición.
Actividad 1.
Calcula: a) CR7,5 b) CR5,7 c) CR10,6 d) CR6,10
Actividad 2.
a) Con los elementos del conjunto A={3, 6, 9}, construir todas las combinaciones con repetición de orden 3.
b) Con los elementos del conjunto A={a, b, c, d}, construir todas las combinaciones con repetición de orden 2.
Actividad 3.
a) ¿De cuántas formas se pueden colocar siete libros iguales en cuatro estanterías?
b) ¿De cuántas formas se pueden colocar cuatro libros iguales en siete estanterías?
Actividad 4.
¿Se puede resolver cualquier ejercicio de combinaciones con repetición utilizando el principio de multiplicación?
Explicación paso a paso:
El total de agrupaciones de dos elementos que se pueden formar con las letras permitiendo repeticiones es de 10
Para este resolver este problema la formula y el procedimiento que debemos utilizar de combinaciones es:
Cr n,x = (n+x-1)! / [x! *(n-1)!]
Donde:
- Cr n,x = combinación de n en x con repetición
- n = elementos o grupo a combinar
- x = elementos o grupo para combinar
- ! = factorial del número
Datos del problema:
n = 4 Letras
x = 2 letras
Aplicamos la formula de combinación, sustituimos valores y tenemos que:
Cr n,x = (n+x-1)! / [x! *(n-1)!]
Cr 4,2 = (4+2-1)! / [2! *(4-1)!]
Cr 4,2 = 5! / [2 *3!]
Cr 4,2 = 120 / [2 *6]
Cr 4,2 = 120 / 12
Cr 4,2 = 10
Hay un total de 10 combinaciones posibles con repetición.
¿Qué es combinación?
En matemáticas se denomina combinación o combinaciones, a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse de un número determinado de elementos, sin que se repitan y sin importar el orden en que se encuentren. cuando los elementos se repiten la combinación se conoce como combinación con repetición
Aprende más sobre combinaciones en: brainly.lat/tarea/41930737
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