Question

ARITMÉTICA-MÚLTIPLOS

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Divisibilidad

$\textbf{Problema :}$

Al formar un numeral, se observa que la cifra de mayor orden es la mitad de la cifra de orden anterior; además, al dividir dicho numeral entre 8; 9 y 11 se obtiene como residuo 7; 2 y 3 respectivamente. Calcule la suma de las cuatro cifras del numeral.

RESOLUCIÓN

Según dato del problema, el numeral que estamos buscando tiene cuatro cifras, y la cifra de mayor orden (orden 3) es la mitad de la cifra de orden anterior (orden 2) quedando el numeral de la siguiente manera.

                                                $N = \overline{w(2w)xy}$

Tenga en cuenta que la cifra de orden 0 es $y$ , la cifra de orden 1 es $x$

Del numeral se puede deducir que $w<5$

Luego $N$ es un múltiplo de 8 con residuo por defecto $r= 7$

                                                $N = \hat{8} + 7$

y además.

                                                $N = \hat{9} + 2$

                                                $N = \hat{11} + 3$

Haciendo el siguiente artificio

                                                $N = \hat{8} + 40 + 7$

                                                $N = \hat{8} + 47$

                                                $N - 47 = \hat{8}$

                                                $N = \hat{9} + 45 + 2$

                                                $N = \hat{9} + 47$

                                                $N - 47 = \hat{9}$

                                                $N = \hat{11} + 44 + 3$

                                                $N = \hat{11} + 47$

                                                $N - 47 = \hat{11}$

Luego $N-47$ es múltiplo de 8; 9 y 11 simultáneamente y sabiendo que si un número es múltiplo de varios módulos simultáneamente, entonces necesariamente, es múltiplo del mínimo común múltiplo de dichos módulos.

                                                $N-47 = \hat{792}$

                                                $N = \hat{792} + 47$

Se logra deducir que $N$ es un múltiplo de 792 con residuo $r = 47$ y como $N$ es un numeral de cuatro cifras, encontremos manualmente los posibles valores de $N$.

                                       $N = 792 \boldsymbol{(} 1 \boldsymbol{)}+47 = 839$

                                       $N = 792 \boldsymbol{(} 2 \boldsymbol{)}+47 = 1631$      

                                       $N = 792 \boldsymbol{(} 3 \boldsymbol{)}+47 = 2423$

Inmediatamente dejamos de seguir encontrando posibles valores de $N$ ya que nos percatemos que el último valor encontrado cumple con las condiciones del problemas por lo tanto $N = 2423$ siendo la suma de cifras $2+4+2+3 = 11$        

RESPUESTA        

$\boxed{11}$