Question

En un billar golpeamos la bola a, que debe golpear a la bola b y luego a la c. considerando los lados de la mesa como ejes de coordenadas,las posiciones de las bolas son: a=(9,4),b=(-3,-2)y c=(-1,4).con que ángulo,respecto a la trayectoria seguida por a cuando golpea a la bola b debe salir la bola para golpear c

Answer 1

La bola debe salir de b con un ángulo de 45° para golpear la bola c.  

Explicación paso a paso:  

Lo que se quiere hallar es el ángulo formado por los vectores:$\overrightarrow{a}~con~punto~inicial~a~y~punto~final~b~=~[-3~-~9]i~+~[-2~-~4]j\qquad \Rightarrow$$\bold{\overrightarrow{a}~=~-12i~-~6j}$$\overrightarrow{b}~con~punto~inicial~b~y~punto~final~c~=~[-1~-~(-3)]i~+~[4~-~(-2)]j\qquad \Rightarrow$$\bold{\overrightarrow{b}~=~2i~+~6j}$  

El ángulo formado por dos vectores se calcula según la fórmula:

$\bold{\theta~=~ArcCos[\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{||a||\cdot||b||}]}$

Vamos a calcular el producto escalar de los vectores:  $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}~=~[-12i~-~6j]\cdot[2i~+~6j]\quad \Rightarrow\quad=~[-12]\cdot[2]+[-6]\cdot[6]~=~-60$

Calculemos el módulo de cada vector:  

$||\overrightarrow{a}||~=~\sqrt{(-12)^{2}~+~(-6)^{2}}~=~6\sqrt{5}$  

$||\overrightarrow{b}||~=~\sqrt{(2)^{2}~+~(6)^{2}}~=~2\sqrt{10}$  

Sustituimos los tres valores anteriores en la fórmula de cálculo del ángulo entre dos vectores:

$\bold{\theta~=~ArcCos[\frac{-60}{(6\sqrt{5})\cdot(2\sqrt{10})}]~=~45^{o}}$

La bola debe salir de b con un ángulo de 45° para golpear la bola c.