Question

Determine un dominio y el rango correspondiente de las siguientes funciones de variable real (8 PTS) g(x)=x/(x-1) h(x)=2x/(x 3) f(x)=√(1-x^2 ) r(x)=√(x^2-1) h(x)=2/(√(|x-2| )-1) f(x)=(x^2-1)/(x^2 1) f(x)=1/(x-1) 1/(x-2) h(x)=√(x-1) √(x-2) Seaf una función tal que f (x)= x^2- x,con dominio igual a R. El intervalo en x para el cual f (x)

Answer 1

Se encuentran los dominios y rangos para cada función de acuerdo a las restricciones de las mismas

Para encontrar el dominio de la función: los denominadores deben ser distintos de ceros  y las raíces positivas,para el rango de la función se observan las posibles restricciones y encuentra el dominio de la inversa.{

• g(x)=x/(x-1) = y

x - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

Realizando la división de polinomios:

y=  1 + 1/(x-1)

y - 1 = 1/(x-1)

(x-1) = 1/(y-1)

x = 1/(y-1) + 1

y - 1 ≠ 0 ⇒ y ≠ 1

Dom f(x) = R - {1}

Rgo f(x) = R - {1}

• g(x)=2x/(x+3) = y

x + 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ -3

Realizando la división de polinomios:

y=  2 - 6/(x+3)

y - 2 = -6/(x+3)

(x+3) = -6/(y-2)

x = -6/(y-2) -3

y - 2 ≠ 0 ⇒ y ≠ 2

Dom f(x) = R - {-3}

Rgo f(x) = R - {2}

• f(x)=√(1-x²) = y

1-x² ≥ 0 ⇒ 1 ≥ x² ⇒ -1 ≤ x ≤1

Para que tenga inversa y debe ser positivo.

y² = 1 - x²

x² = 1 -y²

x = √(1 -y²)

1 -y² ≥ 0 ⇒ y² ≤ 1 ⇒ -1 ≤ y ≤ 1 y tenemos que 0 ≤ y

Dom f(x) = x / x ∈ [-1,1]

Rgo f(x) = y / y ∈ [0,1]

• r(x)=√(x²-1) = y

x² -1 ≥ 0 ⇒ x² ≥ 1 ⇒ x ∉ (-1,1)

Para que tenga inversa y debe ser positivo.

y² = x² -1

x² = y² + 1

x = √(y² + 1)

Dom r(x) = x / x ∉ (-1,1)

Rgo r(x) = y / y ≥ 0

• h(x)=2/(√(|x-2| )-1 = y

x - 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2

√(|x-2| debe ser mayor que 0 por lo tanto 2/√(|x-2| )es mayor que 0 por lo que 2/√(|x-2| -1 es mayor que -1

Dom h(x) = R - {2}

Rgo h(x) = y / y ≥ -1

• f(x)=(x²-1)/(x² + 1)

Dominio: El denominador siempre es positivo y por lo tanto distinto de cero, el dominio son los reales.

Rango: El denominador es positivo y mayor o igual que 1,  x² es mayor o igual que cero por lo tanto x² -1 es mayor o igual que -1 el rango sera de menos 1 hasta infinito

Dom f(x) = R

rgo f(x) = y/ y ∈ [-1,∞)

• f(x)=1/(x-1)+1/(x-2)

x - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

x - 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2

y = (x - 1 + x -2)/((x-1)*(x-2)) = (2x-3)/((x-1)*(x-2))

Domf(x) = R - {1,2}

Rgo f(x)= R

• h(x) = √x - 1 + √ x +2

x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1

x - 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2

Dom h(x) = x/  x ≥2

Rgo = R