Question

Desde un avión que se encuentra a 5.600m se observan 2 motos en movimiento en la misma dirección y sentido con ángulo de depresión de 55° y 38° respectivamente. Determina la distancia entre las 2 motos

Answer 1

Respuesta:

d = 3622.64 m

Explicación paso a paso:

Si "d" es la distancia entre las motos

"x" es la distancia desde la vertical del avión a la moto 1 ( ángulo de depresión de 38º )

"y" es la distancia desde la vertical del avión a la moto 2 ( ángulo de depresión de 55º )

Como se forman dos triángulos rectángulos

Usaremos la razón tangente para calcular "x" y "y"

tan 38º = x/5600

x = 5600tan 38º

x = ( 5600 ) ( 0.7812 )

x = 4374.72 m

tan 55º = y/5600

y = 5600 tan 55º

y = ( 5600 ) ( 1.4281 )

y = 7997.36 m

Calculamos "d"

d = y - x

d = 7997.36 - 4374.72

d = 3622.64 m

Answer 2

La distancia entre las dos motos es de 3246.50 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ACD: el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura a la que se encuentra el avión, -donde este cateto es el mismo para ambos triángulos- , el lado AC que representa la distancia desde cierto punto -ubicado en C- sobre el plano del suelo, -medido perpendicularmente desde la posición del avión- hasta la moto más lejana, -donde no conocemos esta longitud a la cual llamaremos distancia "x"-, y el lado AD que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en en el avión- hasta una moto, la cual es vista con un ángulo de depresión de 38°

El BCD: el cual está configurado por el lado CD que equivale a la altura a la que se encuentra el avión, el lado CB que es la distancia desde cierto punto -ubicado en C- sobre el plano del suelo, -medido perpendicularmente desde el punto donde se encuentra el avión- hasta la moto más cercana, -de la que no conocemos su magnitud a la cual llamaremos distancia "y"- y el lado DB que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en el avión- hasta la otra moto, la cual es vista con un ángulo de depresión de 55°

Donde se pide determinar la distancia entre las dos motos

Siendo la distancia "x" la longitud hasta la moto más lejana desde cierto punto en tierra medido verticalmente hasta donde se encuentra el avión

E "y" la distancia hasta la moto más cercana desde cierto punto en tierra medido verticalmente hasta donde se encuentra el avión

Halladas las distancias "x" e "y", determinaremos la distancia entre las dos motos restando de la distancia "x" la distancia "y"

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se trasladan los ángulos de depresión de 38° y de 55° a los puntos A y B respectivamente para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto opuesto a los ángulos dados -que es la altura a la que se encuentra el avión- y conocemos los ángulos de depresión de 38° y de 55° y debemos hallar las distancias "x" e "y", - ambos catetos adyacentes- en cada uno de los triángulos rectángulos determinaremos ambas dimensiones mediante la razón trigonométrica tangente de los respectivos ángulos de depresión

En ACD:

Hallamos la distancia "x" -distancia hasta la moto más lejana-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =38^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(38^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(38^o) = \frac{ altura\ avion }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ avion }{ tan(38^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 5600 \ m \ }{ tan(38^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 5600 \ m \ }{ 0.781285626507} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 7167.67 \ metros } }$

$\textsf{Redondeando por exceso }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 7167.70 \ metros } }$

Por tanto la distancia x - hasta la moto más lejana- es de 7167.70 metros

En BCD:

Hallamos la distancia "y" -distancia hasta la moto más cercana-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  $\bold{\beta = 55^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(55^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(55^o) = \frac{ altura\ avion }{ distancia \ y } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ avion }{ tan(55^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ 5600 \ m \ }{ tan(55^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ 5600 \ m \ }{ 1.428148006742} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 3921.16 \ metros } }$

$\textsf{Redondeando por exceso }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 3921.20 \ metros } }$

Luego la distancia y - hasta la moto más cercana- es de 3921.20 metros

Hallamos la distancia entre los dos motos

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Motos = distancia \ x -\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Motos= 7167.70 \ m -\ 3921.20 \ m } }$

$\large\boxed{\bold {Distancia \ entre \ Motos= 3246.50 \ metros } }$

La distancia entre las dos motos es de 3246.50 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto