Question

100 PUNTOS
Un cono de helado tiene 2 pulgadas de diámetro en la parte superior y 4 pulgadas de altura. En él se vierte una bola de helado esférica de modo que la mitad de ella queda dentro del cono. a) Encuentre el volumen de la esfera B)Si la bola de helado se derrite, calcule la altura que el helado alcanza dentro del cono.​

Answer 1

Respuesta:

a) volumen de la esfera de helado   V ≅ 3,82 in³

b) altura del helado fundido dentro del cono    h ≅ 3,88 in

Explicación paso a paso:

a) Volumen de la esfera

el volumen de la esfera viene dado por la expresión:

V = (4/3).π.r³          donde r es el radio de la esfera

para calcular r se construyen los triángulos rectángulos que se visualizan en la primera imagen adjunta

del primer triangulo rectángulo AOC se deduce que el

sen(α) = R/AC      donde R es el radio de la boca del cono y el segmento AC es la hipotenusa de dicho triangulo, el valor del segmento AC puede ser calculado por medio del teorema de pitagoras siendo así su valor

AC = √(R² + P²)         donde P es la profundidad del cono

esto implica que      sen(α) = R/√(R² + P²)     (1)

en el segundo triangulo rectángulo ABO se deduce que

sen(α) = r/P       (2)

por lo tanto, igualando las expresiones (1) y (2) se llega a lo siguiente

R/√(R² + P²) = r/P  

se despeja r

r = R.P/√(R² + P²)

ahora se calcula r ya que se sabe que el radio R = 1 in  y la profundidad P = 4 in

r = 1.4 in²/√(1 in² + 16 in²) = 4 in²/√17 in = (4/√17) in

finalmente el volumen es

V = (4/3).π.(4/√17)³ in³     ⇒    V ≅ 3,82 in³  (pulgadas cubicas)

b) para calcular la altura que alcanza el helado en estado liquido dentro del cono se hace lo siguiente:

el volumen de un cono esta dado por

V = (1/3).π.e².h    donde e es el radio de la boca del cono y h la altura del cono generado por el helado fundido

cuando el helado fundido se valla al fondo del cono este adoptara el cuerpo de un cono mas pequeño y de igual volumen que la esfera de helado, por lo tanto, se puede establecer lo siguiente:

(1/3).π.e².h = (4/3).π.(4/√17)³ in³     ⇒    e².h = 256/17√17 in³   (3)

para tener de forma explicita el valor de h se necesita conocer el valor de e, entonces se procede a calcularlo.

De la imagen adjunta numero 2 se deduce del

triangulo rectángulo AO"Q que

tg(α) = e/h

y del triangulo rectángulo AOC

tg(α) = R/P

por lo tanto

e/h = R/P    ⇒     e = h.R/P   se reemplaza esto en (3)

(h.R/P)².h = 256/17√17 in³

h³.R²/P² = 256/17√17 in³

ahora si se despeja h

h = ∛(P².256/R².17√17) in  como   P = 4 in y R = 1 in

h = ∛(16.256/17√17) in    ⇒     h ≅ 3,88 in

Answer 2

La bola de helado, al derretirse, ocupa un volumen en el cono que alcanza una altura de  4  pulgadas; es decir, ocupa todo el espacio interno del cono.

Explicación paso a paso:

La esfera y el cono tienen el mismo radio, que viene siendo la mitad del diámetro.  El diámetro es  2  pulgadas, por lo que el radio equivale a  1  pulgada.

a) Encuentre el volumen de la esfera

El volumen  Ve   de una esfera de radio  r  es

$\bold{Ve~=~\dfrac{4}{3}~\pi~r^3}$

En el caso estudio, la esfera tiene un radio  r  =  1  pulgada

$\bold{Ve~=~\dfrac{4}{3}~\pi~(1)^3~=~\dfrac{4}{3}~\pi~~pulg^3}$

El volumen de la bola de helado esférica es de     $\bold{\dfrac{4}{3}~\pi~~pulg^3}$

b) Si la bola de helado se derrite, calcule la altura que el helado alcanza dentro del cono.

El volumen del helado derretido dentro del cono es el mismo que tenía la esfera, por lo que podemos igualar este valor al de un cono de radio  R  y  altura  H

$\bold{\dfrac{1}{3}~\pi~R^2~H~=~\dfrac{4}{3}~\pi\qquad\Rightarrow\qquad R~=~\dfrac{2}{\sqrt{H}}}$

Por semejanza de triángulos, de acuerdo con la gráfica anexa

$\bold{\dfrac{4}{H}~=~\dfrac{1}{\frac{2}{\sqrt{H}}}\qquad\Rightarrow\qquad 8~=~H\sqrt{H}\qquad\Rightarrow\qquad (8)^2~=~(H\sqrt{H})^2\qquad\Rightarrow^}$

$\bold{64~=~H^3\qquad\Rightarrow\qquad \sqrt[3]{64}~=~\sqrt[3]{H^3}\qquad\Rightarrow\qquad H~=~4~~pulg}$

La bola de helado, al derretirse, ocupa un volumen en el cono que alcanza una altura de  4  pulgadas; es decir, ocupa todo el espacio interno del cono.

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