Question

Halla el polígono regular cuyo numero de diagonales se multiplica x 5 al duplicar el número de vertices

Answer 1

El polígono regular que cumple con esa condición es el Eneágono.

Se sabe que el eneágono tiene 9 vértices y 27 diagonales, si duplicamos el número de vértices nos da 18 vértices y 135 diagonales, con lo que logramos quintuplicar la cantidad de diagonales duplicando la cantidad de vértices.

Resolución de forma matemática:

El número de diagonales de un polígono regular se calcula con la siguiente expresión:

$D = \frac{V*(V-3)}{2}$ donde V es el número de vértices y D el número de diagonales.

Multiplicaremos por 5 en ambos lados de la igualdad, nos queda:

$5*D = \frac{V*(V-3)}{2}*5$ (I)

Adicionalmente sabemos que al duplicar los vertices se quintuplican las diagonales, por lo que nos queda:

$5*D = \frac{2V*(2V-3)}{2}$ (II)

Restamos (I) con (II) para resolver el sistema de ec. de 2x2 (Dos ecuaciones y 2 incógnitas)

$2V^2-3V-\frac{5}{2}V^2+\frac{15}{2}V=0$

$-V^2+9V=0$

resolvemos la ecuación de segundo grado, nos queda:

$V=0,\:V=9$

con V = 0 No es posible realizar un polígono de cero vértices.

Por lo tanto V = 9 (Eneágono) es la solución.