Question

La circunferencia auxiliar de una elipse es la circunferencia con radio igual a la mitad del eje menor y

centro igual que en la elipse. La circunferencia auxiliar es entonces la circunferencia máxima que

puede caber dentro de una elipse.

a. Encuentre una ecuación para la circunferencia auxiliar de la elipse x2 + 4y2 = 16.

b. Para la elipse y la circunferencia auxiliar del inciso (a), demuestre que si (s, f) es un punto que

pertenece a la circunferencia auxiliar, entonces (2s, f) es un punto de la elipse.

Answer 1

Respuesta:

La circunferencia auxiliar es aquella con centro en el centro de la elipse y cuyo diámetro es el eje menor de dicha elipse. Su ecuación es $x^{2}+ y^{2} =4$

Explicación paso a paso:

a. Encuentre una ecuación para la circunferencia auxiliar.

1.- A partir de la ecuación general proporcionada, hallemos la llamada ecuación canónica de la elipse. Esta se halla dividiendo todos y cada uno de los términos de la ecuación por 16.

$x^{2}+ 4y^{2} =16$ ⇒ $\frac{x^{2}}{16} +\frac{ y^{2}}{4}=1$

2.- Los denominadores de los términos del lado izquierdo corresponden a los cuadrados de las distancias desde el centro al vértice mayor y al vértice menor, en orden de aparición de izquierda a derecha. Es decir,

Distancia del centro al vértice mayor (semieje mayor) = 4

Distancia del centro al vértice menor (semieje menor) = 2

3.- El centro de la elipse coincide con el origen de coordenadas, ya que tanto x como y aparecen solas elevadas al cuadrado, no constituyen un binomio al cuadrado cuyo segundo miembro seria la coordenada correspondiente del centro. Eso implica que el centro de la elipse es (0, 0).

4.- Ya que la circunferencia auxiliar tiene centro en el origen y radio igual al semieje menor, su ecuación es: $x^{2}+ y^{2} =4$

b. Demuestre que si (s, f) es un punto de la circunferencia auxiliar (2s, f) es un punto de la elipse.

1.- Vamos a sustituir los valores s y f en las ecuaciones:

$s^{2}+ f^{2} =4$

$(2s)^{2}+ 4f^{2} =16$ ⇒ $4s^{2}+ 4f^{2} =16$

2.- En la segunda ecuación tomamos factor común 4 en el lado izquierdo y sustituimos lo expresado en la primera ecuación:

$4(s^{2}+ f^{2}) =16$ ⇒ $4(4) =16$

3.- Como vemos en 2.- el sistema se satisface por la sustitución de los valores dados de x, y. Por tanto se concluye que (s, f) es punto de la circunferencia auxiliar y (2s, f) es un punto de la elipse.