Question

Teorema del seno ¿cómo resuelvo esos problemas?

Answer 1

Usamos el teorema del seno para calcular las distancias entre puntos.

• El avión vuela a 12,33 km.
• El avión se encuentra a una distancia 16,97 km de la ciudad A y a 58,03 km de la ciudad B.
• La altura de la nube es de 4,87 km.
• La persona A se encuentra a 4,89 km de la nube, mientras que la persona B se encuentra a 5,09 km.

Datos:

1. Distancia entre la ciudad A y B = 75 km.

2. Ángulo A = 36º

3. Ángulo B = 12º

Procedimiento:

En la imagen inferior adjunta, podremos ver la disposición de los puntos, ángulos y distancias. Por el teorema de ángulos internos podemos calcular el ángulo C, si sabemos que la suma de los ángulos es 180º:

A + B + C = 180º    →    C = 180º - A - B    →    C = 132º

El teorema del seno indica que la distancia "a" divido por el seno de su ángulo, será igual a cualquiera de las distancias divido por el seno de su ángulo respectivo. Así tenemos:

$\boxed{\frac{a}{Sen(A)} = \frac{b}{Sen(B)} = \frac{c}{Sen(C)}}$

Es importante cuidar la correspondencia entre los ángulos y las distancias, estás deben ser opuestas como se muestra en la imagen. Ángulo A, opuesto a lado "a" y así sucesivamente.

Conocidos los ángulo, podemos calcular el lado "b":

$\frac{c}{Sen(C)} = \frac{b}{Sen(B)} \quad \longrightarrow \quad \frac{75}{Sen(132)} = \frac{b}{Sen(12)}$

$b = 75*\frac{Sen(12)}{Sen(132)} = 20,98 \:km$

Conocida la distancia entre la ciudad B y el avión b = 20,98 km, ya terminamos de usar el teorema del seno. Ahora para determinar la altura del avión, usamos identidades trigonométricas. Entre las distancias b, h y x se forma un triangulo rectángulo para hallar el valor de h, tenemos:

$Sen (A) = \frac{h}{b} \quad \longrightarrow \quad h= b*Sen(A) = 20,98*Sen(36)= 12,33 \:km$

Así tenemos que la altura del avión es h = 12,33 km. Por teorema de Pitágoras podemos calcular la distancia "x" y así conocer la distancia que se se encuentra respecto a cada ciudad, en el mismo plano vertical:

$b^{2} = x^{2}+h^{2} \quad \longrightarrow \quad x=\sqrt{b^{2}-h^{2}} = 16,97 \:km$

Así tenemos que la distancia del avión respecto a la ciudad A (en el mismo plano) es x = 16,97 km. Y la distancia respecto a la ciudad B será x₂ = 75 - 16,97 = 58,03 km.

Los cálculos del otro ejercicio siguen el mismo procedimiento, sólo que al pedir la distancia de las personas a la nube, únicamente se debe calcular "a" y "b".