Question

Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando F'(x) de las siguientes funciones

Ejercicio a.
F(x)=∫_2^(2x^3) 〖sen(t^2+t)dt〗

Answer 1

La Derivada de F(x) resultante es

$F'(x)=2^{2x^{3} }ln(2)\int\limits {Sen(t^{2}+t) } \, dt$

Notemos que nos piden hallar la derivada respecto a "x" de la función F(x) y, a pesar de que el término dependiente de "x" se encuentra dentro de una integral, la misma está en términos de la variable "t", por lo que la función F(x) puede reescribirse así;

$F(x)=2^{2x^{3}}*\int\limits{Sen(t^{2}+t )} \, dt$

Ahora, solo tenemos que aplicar la propiedad de la derivada del producto, según la cual;

$d(F(x)*G(x))=(d(F(x))*G(x)+F(x)*(d(G(x))$

Donde; $F(x)=2^{2x^{3} }$

$G(x)=\int\limits {Sen(t^{2}+t) } \, dt$

Al aplicar esta propiedad tenemos

$F'(x)=2^{2x^{3} }ln(2)*\int\limits {Sen(t^{2}+t)} \, dt +2^{2x^{3}}*\frac{d}{dx}\int\limits {Sen(t^{2}+t)} \, dt$

Y como la integral respecto a "t" no cuenta con términos dependientes de "x", su derivada será igual a cero. Por lo tanto,

$F'(x)=2^{2x^{3} }ln(2)\int\limits {Sen(t^{2}+t) } \, dt$

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