Question

Porblemas sobre subespacios vectoriales.

Determine si W es un subespacio del espacio vectorial dado.

1) W= { (x,y,z) : x ≥ 0} V= R³

2) W= { $f$ : $f$ (-1) = 0} V= C [-1,1]

Answer 1

Definición de subespacio vectorial

                $W\texttt{ es un subespacio vectorial de }V\texttt{ si }W\subset V\\ \texttt{y adem\'as se cumplen:}\\ \\ 1) \texttt{ Si }u,v\in W\texttt{ entonces }u+v\in W\\ 2) \texttt{ Si } u\in W\texttt{ y }k\in F\texttt{ entonces }ku\in W\\ \\ \text{Donde }F\texttt{ es un campo de escalares}$

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   $1) \text{ Sean }u,v\in W\text{ es decir }u=(u_1,u_2,u_3)\,,\, v=(v_1,v_2,v_3)\\ \text{con }u_1\geq 0\,,\, v_1\geq 0\\ \\ \text{Entonces }u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3)\text{ note que }u_1+v_1\geq 0\\ \text{Por ende }u+v\in W\\ \\ \\ \text{Por otra parte, sea }k\in F\text{ entonces }ku=(ku_1,ku_2,ku_3)\\ \text{donde},ku_1\geq 0\text{ de esto }ku\in W\\ \\ \\ \therefore W \text{ es un subespacio de }V$
  
   
   $2) \text{ Sean }g,h\in W.\text{ Como es bien sabido, la suma de funciones}\\ \text{continuas sobre alg\'un conjunto }X\text{ tambi\'en es continua} \text{ en }X\\\text{por ello }g+h\in C[-1,1].\\ \text{ Note tambi\'en que}\\ (g+h)(-1)=g(-1)+h(-1)=0+0=0 \text{ por ello }g+h\in W\\ \\ \text{Si }k\in F\text{ entonces }kg(-1)=k\cdot 0=0\,,\,\forall g\in W\text{ por fin }W\text{ es subespacio}\\\text{de }V$