Encontrar la raíz real positiva de f(x)=Ln x-x+2=0, usando el método de punto fijo, con una tolerancia de 〖10〗^(-4) para la variable x
Respuestas
El resultado que encuentra el método de punto fijo es X= 3,14602685.
El método de punto fijo es un método numérico utilizado en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, usualmente raíces de funciones (si se desea encontrar otro punto distinto de cero se despeja hasta que la función quede igualada a cero).
Principios del método
Este método consiste en reescribir la variable independiente como una función de manera que si deseo hallar las raíces de una función f(x)=0, tendríamos que encontrar g(x) tal que:
x= g(x).
Si despejamos: x -g(x)=0 y teníamos que f(x)= 0, por lo tanto:
f(x)= x -g(x)
Supongamos ahora que x’ es nuestra raíz, entonces:
f(x’)= 0 por lo tanto:
x’ -g(x’)=0
x’= g(x’).
y x’ es nuestro punto fijo de g.
Algoritmo: para desarrollar el método de punto fijo debemos seguir los siguientes pasos:
1. Inicializar g(x), Xo Iterado inicial, Nmax máximo de iteraciones, toleracia
2. Iter=0, t = tol+2
3. Mientras Iter < Nmax y t > tol hacer:
- X= g(Xo)
- t= norma(X-Xo)
- Iter= iter+1
- Xo=x
- Si t > tol “El método no converge”
Procedemos entonces a usar el método del punto fijo
Si f(x) = ln(x)-x+2 =0
x= ln(x)+2 = g(x)
Luego graficamos la función (ver la primera imagen) y vemos que la raiz real esta entre 3 y 4 ,veremos que nos dice el método del punto fijo es capaz de encontrar una.
Tomaremos Xo= 1. y si no encontramos convergencia tomaremos con Xo mas cercano, procedemos a programar el método, usaremos lenguaje de programación C, por ser un lenguaje universal.
En la imagen 2 vemos el código del método de punto fijo y por último en la imagen 3 vemos el resultado que arroja en pantalla, donde el resultado por el método es:
X= 3,14602685
