Question

Responde.


El diámetro de una esfera es igual al radio de una segunda esfera. La afirmación correcta es:

A. El volumen se la segunda esfera es 8 veces mayor que la primera esfera
B. Las dos esferas tienen el mismo volumen
C. El volumen de la primera esfera es 8 veces mayor que la segunda esfera
D. El volumen de la primera es el doble de la segunda

Answer 1

Respuesta:

$V_2=8V_1$

(El volumen de la segunda esfera es 8 veces mayor que el de la primera esfera, por lo tanto es el literal "A")

Explicación paso a paso:

La primera esfera es más pequeña respecto de la segunda. Tomemos una medida albitraria o representativa, denominaremos a "x" como una variable o distancia y será el rádio de la esfera más grande. El volumen de una esfera:

$V=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

Calculemos el volumen para la segunda esfera (la más grande):

$V_2=\frac{4}{3} \pi x^{3}$

Calculemos el volumen para la primera esfera (la más pequeña), recordando que el radio es la mitad del diametro ($r=\frac{d}{2}$):

$V_1=\frac{4}{3} \pi (\frac{x}{2} )^{3}=\frac{4}{3} \pi (\frac{x^{3}}{8} )=\frac{4}{24} \pi x^{3}=\frac{1}{6} \pi x^{3}$

Ahora, con simple algebra:

$V_2=\frac{4}{3} \pi x^{3}=4(\frac{1}{3} \pi x^{3})=\frac{16}{2} (\frac{1}{6} \pi x^{3})=8(\frac{1}{6} \pi x^{3})$

No hemos afectado en nada la ecuación, si lo multiplicamos nos da lo anterios. Pero si vemos, $(\frac{1}{6} \pi x^{3})$ es nuestro $V_1$ por lo tanto nos queda:

$V_2=8(\frac{1}{3} \pi x^{3})=8V_1$

Demostración: Digamos que el radio de la segunda esfera es 2 (por lo tanto el de la primera esfera es 1).

$V_1=\frac{4}{3} \pi (1^{3})=\frac{4}{3} \pi(1)=\frac{4}{3} \pi u^{3}$

(u: unidades y por ser volumen es al cubo)

Si decimos que  $V_2=8V_1$

Entonces:

$V_2=8(\frac{4}{3} \pi )=\frac{32}{3} \pi u^{3}$

Miremos cuanto nos daba si lo hubiesemos hecho desde el inicio con la fórmula original:

$V_2=\frac{4}{3} \pi (2^{3})=\frac{4}{3} \pi(8)=\frac{32}{3} \pi u^{3}$

Y por ser lo mismo podemos comprobar matemáticamente el resultado.

Espero te sirva, cualquier duda o pregunta déjala en los comentarios y no olvides evaluar mi respuesta.