Question

∫(ⅇ^2x+2ⅇ^(-x) )^2 ⅆx

Answer 1

$\int (e^{2x}+2e^{-x})^{2}dx$

 Expandimos el trinomio cuadrado perfecto:

$(e^{2x}+2e^{-x})^{2}=(e^{2x})^{2} +2(e^{2x})(2e^{-x})+(2e^{-x})^{2}=e^{4x}+4e^{x}+4e^{-2x}$

La integral queda:

$\int e^{4x}+4e^{x}+4e^{-2x} dx$

Que es lo mismo que la suma de las integrales:

$\int e^{4x}dx+4\int e^{x}dx+4\int e^{-2x} dx$

Ya aquí solamente para la primera y la tercer integral se necesita usar sustitución:

u=4x , du=4dx , du/4=dx

v=-2x , dv=-2dx , -dv/2=dx

$\int e^{4x}dx+4\int e^{x}dx+4\int e^{-2x} dx=\int e^{u}\frac{du}{4}+4e^{x}+4\int e^{v}*-\frac{dv}{2}\\\\=\frac{1}{4}\int e^{u}du+4e^{x}-\frac{4}{2}\int e^{v}dv=\frac{1}{4}e^{u}+4e^{x}-2e^{v}=\frac{1}{4}e^{4x}+4e^{x}-2e^{-2x}+C$

No olvidar la constante de integración.