En el tercer termino de una serie geometrica es 50 y el septimo es 31250. Encuentra la razon y la suma de los primeros 5 de la sucesión
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Tarea
El tercer termino de una serie geométrica es 50 y el séptimo es 31250. Encuentra la razón y la suma de los primeros 5 términos de la sucesión.
Hola!!!
Realizamos un esquema de términos para poder entender de donde sale la RAZÓN de una Progresión Geométrica:
a₁ ; a₂ ; a₃ ; a₄ ; a₅ ; a₆ ; a₇ ; a₈....... aₙ₋₁ ; aₙ
R R R R R R R ......... R
a₂ = a₁ ₓ R
a₃ = a₂ ₓ R
a₄ = a₃ ₓ R
a₅ = a₄ ₓ R
a₆ = a₅ ₓ R
a₇ = a₆ ₓ R
a₈ = a₇ ₓ R
aₙ = aₙ₋₁ ₓ R
Lo equivalente es:
a₂/a₁ = a₃/a₂ = a₄/a₃ = a₅/a₄ = a₆/a₅ = a₇/a₆ = a₈/a₇ ...... an/aₙ₋₁ = R
Por lo tanto si queremos hallar la razón R genéricamente_
aₓ = aₐ × Rˣ⁻ᵃ
Aplicamos esta ecuación genérica en la situación planteada de nuestro problema:
Conocemos a₇ = 31250 y a₃ = 50
a₇ = a₃ ₓ R⁷⁻³
31250 = 50R⁴
R⁴ = 31250/50
R⁴ = 625
R = ⁴√625
R = 5 Razón de la Progresión Geométrica
La Ecuación para hallar la suma de los n términos de una Progresión Geométrica esta dada por:
Sₙ = (aₙ ₓ R - a₁)/R - 1
Hallamos a₁:
aₓ = aₐ × Rˣ⁻ᵃ
a₇ = a₁ × R⁷⁻¹
31250 = a₁ × 5⁶
a₁ = 31250/5⁶
a₁ = 31250/15625
a₁ = 2 Primer termino de la Progresión Geométrica
Hallamos a₅:
aₓ = aₐ × Rˣ⁻ᵃ
a₅ = a₃ × R⁵⁻³
a₅ = 50 × 5²
a₅ = 50 × 25
a₅ = 1250 Quinto termino de la Progresión Geométrica
Sₙ = [(aₙ × R) - a₁)]/R - 1
S₅ = [(a₅ × 5) - 2]/(5 - 1)
S₅ = [(1250 × 5) -2]/4
S₅ = (6250 - 2)/4
S₅ = 6248/4
S₅ = 1562 Suma de los 5 primero términos
Verificación:
a₁ ; a₂ ; a₃ ; a₄ ; a₅ ; a₆ ; a₇ ; .............. aₙ₋₁ ; aₙ
2 ; 10 ; 50 ; 250 ; 1250 ; 6250 ; 31250 ; ..............aₙ₋₁ ; aₙ
Suma de 5 primeros términos: S₅
S₅ = 2 + 10 + 50 + 250 + 1250
S₅ = 1562 Verifica!!!!!
Saludos!!!