Question

Determina el límite


Lim 2 x²-8
______
x²-16


Lim x²-6x-16
______
4x+18


Lim x²+6x+9
______
x²-9


Lim 2 x²-13x+15
_________
x²-x-20


Lim x²-8x+15
________
x²-7x+12

Lim x²+3x+2
_________
x²-1

Answer 1

$\lim_{x \to 4} \frac{2x^{2}-8}{x^{2}-16}=\underbrace{\frac{24}{0}}_{indeterminado}$ Hay que analizar los límites laterales:

$\lim_{x \to 4^{+}} \dfrac{2x^{2}-8}{x^{2}-16}=24*\infty=\infty\\\lim_{x \to 4^{-}} \dfrac{2x^{2}-8}{x^{2}-16}=24*-\infty=-\infty$

Como los límites laterales son distintos el límite es divergente.

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$\lim_{x \to -2} \dfrac{x^{2}-6x-16}{4x+18}=\dfrac{(-2)^{2}-6(-2)-16}{4(-2)+18}=\frac{4+12-16}{-8+18}=\frac{0}{10}=0$

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$\lim_{x \to 3} \frac{x^{2}+6x+9}{x^{2}-9}=\frac{3^{2}+6(3)+9}{3^{2}-9}=\underbrace{\frac{36}{0}}_{indeterminado}$

Hay que analizar los límites laterales:

$\frac{x^{2}+6x+9}{x^{2}-9}=\frac{(x+3)^{2}}{(x-3)(x+3)}=\frac{(x+3)}{(x-3)}\\\\\lim_{x \to 3^{+} } \dfrac{x+3}{x-3}=6*\infty=\infty\\\lim_{x \to 3^{-} } \dfrac{x+3}{x-3}=6*-\infty=-\infty$

Como los límites laterales son distintos el límite es divergente, no existe.

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$\lim_{x \to 2} \dfrac{2x^{2}-13x+15}{x^{2}-x-20}=\dfrac{2(2)^{2}-13(2)+15}{(2)^{2}-(2)-20} =\frac{8-26+15}{4-2-20}=\frac{-3}{-18}=\frac{1}{6}$

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$\lim_{x \to -1} \dfrac{x^{2}-8x+15}{x^{2}-7x+12}=\dfrac{(-1)^{2}-8(-1)+15}{(-1)^{2}-7(-1)+12}=\frac{1+8+15}{1+7+12}=\frac{24}{20}=\frac{6}{5}$

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$\underbrace{\lim_{x \to -1} \frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}-1}}_{aplicar L'Hopital}=\lim_{x \to -1} \frac{2x+3}{2x}=\frac{2(-1)+3}{2(-1)}=\frac{-4+3}{-2}=\frac{1}{2}$

Answer 2

1) $\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{2x^2-8}{x^2-16}$

la función no está definida en cuando $x\to 4$ entonces analizar loa límites laterales

$\mathrm{\large{límite \ por\ izquierda:}}$

$\displaystyle\lim_{x\to 4^-}\frac{2x^2-8}{x^2-16}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 4^-}\overbrace{2x^2-8}^{24}}{\displaystyle\lim_{x\to 4^-}\underbrace{x^2-16}_{-0}}=- \infty$

es $(-\infty)$ porque cuando $x\to 4^-$ $x^2-16<0$

$\mathrm{\large{límite\ por \ derecha:}}$

$\displaystyle\lim_{x\to 4^+}\frac{2x^2-8}{x^2-16}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 4^+}\overbrace{2x^2-8}^{24}}{\displaystyle\lim_{x\to 4^+}\underbrace{x^2-16}_{+0}}=+∞$

es $(+\infty)$ porque cuando $x\to 4^+$ $x^2-16>0$

como $\displaystyle\lim_{x\to 4^-}≠\displaystyle\lim_{x\to 4^+}$

entonces no existe el límite.




2)$\displaystyle\lim_{x\to -2}\frac{x^2-6x-16}{4x+18}=$

analizando el límite cuando $x\to -2$
$\frac{(-2)^3-6(-2)-16}{4(-2)+18}=\frac{4+12-16}{-8+18}=\frac{0}{10}=0$

entonces $\displaystyle\lim_{x\to -2}\frac{x^2-6x-16}{4x+18}=0$




3)$\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}$

la función no está definida en $x\to 3$
entonces analizar los límites laterales:

$\mathrm{\large{límite \ por \ izquierda:}}$

$\displaystyle\lim_{x\to 3^-}\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 3^-}\overbrace{x^2+6x+9}^{36}}{\displaystyle\lim_{x\to 3^-}\underbrace{x^2-9}_{-0}}=-∞$

es $(-∞)$ porque cuando $x\to 3^-$ $x^2-9<0$

$\mathrm{\large{límite\ por\ derecha:}}$

$\displaystyle\lim_{x\to 3^+}\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 3^+}\overbrace{x^2+6x+9}^{36}}{\displaystyle\lim_{x\to 3^+}\underbrace{x^2-9}_{+0}}=+∞$

es $(+∞)$ porque cuando $x\to 3^+$ $x^2-9>0$

como $\displaystyle\lim_{x\to 3^-}≠\displaystyle\lim_{x\to 3^+}$

entonces no existe el límite.




4)$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\overbrace{2x^2-13x+15}^{-3}}{\underbrace{x^2-x-20}_{-18}}=\frac{1}{6}$




5)$\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{\overbrace{x^2-8x+15}^{24}}{\underbrace{x^2-7x+12}_{20}}=\frac{6}{5}$



6)$\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^2+3x+2}{x^2-1}=\frac{0}{0}\Rightarrow \mathrm{indeterminado}$

aplicando regla de L'Hopital, derivando arriba y abajo

$\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{2x+3}{2x}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$