Question

Utilizando las Leyes del Algebra Proposicional, demuestre las siguientes equivalencias lógicas 2.10 ~ [(p Λ ~ q Λ r) ν (p Λ q Λ r)] =(~ p ν ~ r)

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Equivalencias Lógicas

Debemos demostrar la siguiente equivalencia:

$\sim [ \{( \textrm{p}\ \land \sim \textrm{q})\ \land\ \textrm{r} \}\ \lor\ \{( \textrm{p}\ \land \textrm{q})\ \land\ \textrm{r} \} ] \equiv (\sim \textrm{p} \lor\ \sim \textrm{r})$

$\boxed{\textrm{De Morgan}} \\ \\ \sim [ \{( \textrm{p}\ \land \sim \textrm{q})\ \land\ \textrm{r} \}\ \lor\ \{( \textrm{p} \land \textrm{q})\ \land\ \textrm{r} \}] \equiv \\ \\ \sim \{ (\textrm{p}\ \land \sim \textrm{q}) \land \textrm{r} \}\ \land\ \sim \{ (\textrm{p}\ \land \textrm{q}) \land \textrm{r} \}$

$\sim \{ (\textrm{p}\ \land \sim \textrm{q}) \land \textrm{r} \}\ \land\ \sim \{ (\textrm{p} \land \textrm{q}) \land \textrm{r} \}\ \equiv\ \sim \{ \textrm{s} \land \textrm{r} \}\ \land\ \sim \{ \textrm{t} \land \textrm{r} \} \\ \\ \textrm{s} = (\textrm{p}\ \land \sim \textrm{q}) \\ \\ \textrm{t} = (\textrm{p} \land \textrm{q}) \\ \\ \boxed{\textrm{De Morgan}} \\ \\ \{ \sim \textrm{r}\ \lor \sim \textrm{s}\}\ \land \{ \sim \textrm{r}\ \lor \sim \textrm{t}\} \\ \\ \boxed{\textrm{Distributiva}}$

$\sim \textrm{r} \lor (\sim \textrm{s}\ \land \sim \textrm{t}) \\ \\ ( \sim \textrm{s}\ \land \sim \textrm{t}) \equiv\ \sim ( \textrm{p}\ \land \sim \textrm{q})\ \land \sim(\textrm{p} \land \textrm{q}) \\ \\ \boxed{\textrm{De Morgan}} \\ \\ \sim ( \textrm{p}\ \land \sim \textrm{q})\ \land \sim(\textrm{p} \land \textrm{q}) \equiv (\sim \textrm{p} \lor \textrm{q})\ \land (\sim \textrm{p}\ \lor \sim \textrm{q}) \\ \\ \boxed{\textrm{Distributiva}}$

$( \sim \textrm{p} \lor \textrm{q})\ \land (\sim \textrm{p}\ \lor \sim \textrm{q}) \equiv \{ \sim \textrm{p} \lor (\textrm{q}\ \land \sim \textrm{q}) \} \\ \\ \boxed{\textrm{Complemento}} \\ \\ (\textrm{q}\ \land \sim \textrm{q}) \equiv \textrm{F} \\ \\ ( \sim \textrm{p} \lor \textrm{q})\ \land (\sim \textrm{p}\ \lor \sim \textrm{q}) \equiv\ \sim \textrm{p} \lor \textrm{F} \\ \\ \boxed{\textrm{Identidad}} \\ \\ \sim \textrm{p} \lor \textrm{F} \equiv\ \sim \textrm{p}$

Entonces concluimos:

$\sim \textrm{r} \lor (\sim \textrm{s}\ \land \sim \textrm{t}) \equiv\ \sim \textrm{r}\ \lor \sim \textrm{p} \equiv\ \sim \textrm{p}\ \lor \sim \textrm{r} \\ \\ \boxed{\textrm{Conmutativa}}$

$\textrm{l.q.q.d}$