Question

AYUDA con este ejercicio de integral definida! por favor

Answer 1

$h(x)=\int\limits^0_{tan\,x} {t^2} \, dt =\frac{t^3}{3}\bigg\rvert^0_{tan\,x}=-\frac{tan^3\,x}{3}$

$\text{como}\qquad h(x)=-\frac{tan^3\,x}{3}\quad \text{podemos conocer el punto deseado}\\ \\(x,h(x))=(\frac{\pi}{4},-\frac{tan^3\,\frac{\pi}{4}}{3})=(\frac{\pi}{4},-\frac{1}{3})$

Ahora solo falta por conocer la pendiente de la recta, su valor sera igual al valor de la pendiente de h(x) en ese punto, conocemos este valor al evaluar la derivada de h(x) en x=π/4

$h'(x)=\frac{d}{dx}[-\frac{tan^3\,x}{3}]=-(sec^2\,x)(tan^2\,x)\\ \\h'(\frac{\pi}{4})=-(sec^2\,\frac{\pi}{4})(tan^2\,\frac{\pi}{4})=-2$

Ahora se puede construir la recta conociendo un punto y su pendiente

$y-y_1=m(x-x_1)\\ \\(x_1,y_1)=(\frac{\pi}{4},-\frac{1}{3})\qquad m=-2\\ \\y-(-\frac{1}{3})=-2(x-\frac{\pi}{4})\\ \\\boxed{y=-2x+\frac{3\pi-2}{6}}$