Respuestas
Para lograrlo debemos conocer dos elementos importantes:
- el centro de la circunferencia (C), dado por sus coordenadas
- el radio (r) de la misma circunferencia
Definido esto, tendremos dos posibilidades :
A) Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)
B) Y circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas; expresado, por ejemplo, como C (3, 2) .
Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)
A continuación analizaremos cuatro casos
Caso 1
Veamos la gráfica siguiente:
Los datos que nos entrega son:
Centro: C (0, 0) , el centro se ubica en el origen de las coordenadas x e y
radio: r = 3 , lo indica el 3 en cada una de las coordenadas.
Recordar esto:
Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x 2 + y 2 = r 2 para expresar dicha circunferencia en forma analítica ( Geometría analítica ) . Esta ecuación se conoce como ecuación reducida .
Para la gráfica de nuestro ejemplo, reemplazamos el valor de r en la fórmula x 2 + y 2 = 3 2
y nos queda x 2 + y 2 = 9 como la ecuación reducida de la circunferencia graficada arriba.
Ojo:
Si nos dieran la ecuación x 2 + y 2 = 9 y nos preguntaran qué representa, razonamos en sentido inverso y diremos que representa una circunferencia, con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0) y cuyo radio es 3 (3 2 = 9 y la raíz cuadrada de 9 es 3)
Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)
Caso 2
Veamos la gráfica siguiente:
x
Los datos que nos entrega son:
Centro: C (0, 0) , el centro se ubica en el origen de las coordenadas x e y
radio: r , lo desconocemos, pero tenemos un dato: el punto P (3, 4) ubicado en la circunferencia.
Recordemos de nuevo :
Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x 2 + y 2 = r 2 para expresar dicha circunferencia en forma analítica. Esta ecuación se conoce como ecuación reducida .
Para la gráfica de nuestro ejemplo, deberíamos colocar el valor de r en la fórmula x 2 + y 2 = r 2 , pero resulta que no lo conocemos.
Entonces, a partir del dato P (3, 4) podemos calcular el valor del trazo que une este punto con el centro C (0, 0) (trazo PC con línea punteada en la figura), el cual corresponde al radio de la circunferencia dada.
¿Cómo calculamos el valor de la distancia (d) entre P y C (el radio de la circunferencia)?
Para calcular la distancia (d) entre dos puntos (encontrar su valor) contamos con la siguiente fórmula:
ecuacion_circunferencia005
No olvidemos que esta fórmula es para encontrar o conocer la distancia entre dos puntos ; por lo mismo, debemos saber que en ella
(x 2 ─ x 1 ) 2 representa al punto 1, y ese punto 1 (P 1 ) lo haremos corresponder con el punto que pasa por el centro C (0, 0)
(y 2 ─ y 1 ) 2 representa al punto 2, y ese punto 2 (P 2 ) lo haremos corresponder con el punto que pasa por P (3, 4).
Es muy importante conocer o designar este orden ya que
ecuacion_circunferencia006
Establecido este orden o equivalencia, podemos sustituir los valores en la fórmula anterior para conocer la distancia (d) entre los dos puntos que nos interesan, la cual será nuestro radio:
ecuacion_circunferencia007
El 5 nos indica la distancia entre los dos puntos, el centro de la circunferencia y uno de sus puntos, lo cual corresponde al radio .