Dado el siguiente espacio vectorial E=<(1,0,1),(2,0,2),(1,1,1)> estos vectores forman una base del espacio vectorial y cuál es su dimensión?
Respuestas
Conjunto generador: se dice que un conjunto de vectores generan a un espacio vectorial si cualquier vector de dicho espacio puede ser escrito como combinación lineal de los mismos.
Linealmente independiente: se dice que un conjunto de vectores son linealmente independiente si ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los otros.
Base: Para que un conjunto de vectores sea base de un espacio vectorial es necesario que generen al espacio vectorial y que además sean linealmente independientes.
Si observamos los tres vectores vemos que no son linealmente independientes pues el primero (1,0,1) es combinación lineal del segundo (2,0,2) ya que:
(1,0,1) = 0.5*(2,0,2)
Por lo tanto los vectores no forman una base de ningún espacio vectorial.
En este caso tenemos tres vectores que no son linealmente independientes y por lo tanto no tenemos un espacio vectorial y no podemos calcular la dimensión del mismo.
Ahora si tomamos uno solo de los vectores que son dependiente, supongamos el primo, y formamos un nuevo conjunto:
E1=<(1,0,1),(1,1,1)>
Se puede formar un espacio vectorial creado por todos los vectores que son combinación lineal de estos vectores y su dimensión seria: 2