Question

csc(x)-cot(x) = tan(x/2)

Answer 1

Conocimiento requerido:
Csc(x) = 1/sin(x)
cot(x) = 1/tg(x)
1/tg(x) = cos(x)/sin(x)
tan(x/2) = ((1-cos(x)/(1+cosx))^1/2
cos²(x) + sin²(x) = 1
Procedimiento:

1/sin(x) - 1/tg(x) = ((1-cos(x))/(1+cos(x)))^1/2
1/sin(x) - cos(x)/sin(x) = ((1-cos(x))/(1+cosx)))^1/2
1-cos(x)/sin(x) = ((1-cos(x))/(1+cos(x)))^1/2

El paso siguiente puede marear un poco, atento:
Multiplicamos los dos lados por 1+cos(x) verás como se simplifica:

(1-cos²(x))/sin(x) = ((1-cos(x))*(1+cos(x))²/(1+cos(x)))^1/2
sin(x) = ((1-cos(x))*(1+cos(x)))^1/2
sin(x) = (1-cos²(x))^1/2
sin(x) = (sin²(x))^1/2
sin(x) = sin(x)

Espero que lo entiendas :D