Question

Una pirámide está limitada por los tres planos coordenados y el plano x + 2y + 3z = 6. representar el sólido y calcular su volumen por doble integración.

Answer 1

Como el solido esta limitado por los planos XY, XZ,YZ y el plano x + 2y + 3z = 6, establecemos el área de integración.

Graficando ese área nos da una region triangular de la recta x+2y =6 en el plano XY, finalmente establecemos los límites de integración (analizando esa región):

Donde, la región R de integración es :

0≤x≤6-2y

0≤y≤3

Como ya definimos los límites de integración, pasamos a integrar:

$\int\limits \int\limits^ {}_R {f(x) - g(x)} \, dA$

donde:

f(x) es la función que esta arriba

g(x) la funcion de abajo

$\int\limits^3_0 \int\limits^{6-2y}_0 {2-\frac{x}{3}-\frac{2y}{3}} \, dxdy\\\int\limits^3_0 {2x-\frac{x^2}{6}-\frac{2yx}{3}}\left \|{{x=6-2y} \atop {x=0}} \right. \, dy\\ \int\limits^3_0 {2(6-2y)-\frac{(6-2y)^2}{6}-\frac{2y(6-2y)}{3}} \, dy$

Finalmente resolviendo esa integral da como resultado que el volumen es 6 u³.

Answer 2

El Volumen del sólido es de 6 unidades cúbicas.

Proceso de solución mediante el método de las integrales dobles

El sólido está limitado por los planos x = 0, y = 0, z = 0, y x + 2y + 3z = 6. Su volumen se obtiene al calcular la integral doble de la función z = 6 - x - 2y en el intervalo [0,2]x[0,3].

El volumen de la pirámide es:

V = ∫∫zdydx = ∫∫(6-x-2y)dydx

V = ∫∫(6-x-2y)dydx

V = ∫(6-x)dy∫dx

V = ∫(6-x)dy∫dx

V = ∫(6-x)dy∫dx

V = (6y-xy)|2=0,3

= (6(3)-2(3))-(6(0)-2(0))

= 18-12=6

En conclusión,  el volumen de la pirámide es de 6 unidades cúbicas.

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