Question

Calcula el polinomio de Taylor de orden 2 de la función e2x en el punto x0=0 , .

Answer 1

Para obtener el polinomio de 2do orden de Taylor consiste en derivar la función tantas veces como orden se quiera, esta es la expresión general del polinomio de Taylor:

$f(a)+\frac{f^{'}(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{''}(a)}{2!}(x-a)^{2}+...+\frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^{n}$

Donde:

n: derivada y orden del polinomio

a: punto de evaluación del polinomio

f(a): la función evaluada en a

Entonces para calcular el Polinomio de Taylor de $e^{2x}$ de orden 2, debemos derivar dos veces esta función:

Primera Derivada $f^{'}(x)=\frac{df(x)}{dx}$. recordemos que la derivada de una exponencial es la derivada de su exponente por la misma exponencial, esto es:

$f^{'}(x)=\frac{d(e^{2x})}{dx}=2e^{2x}$

vemos que la derivada de d(2x)/dx=2 donde 2x es el exponente,

Ahora vamos con la segunda derivada, la cual es la derivada del resultado de la primera derivada.

$f^{''}(x)=\frac{df^{'}(x)}{dx}=\frac{d(2e^{2x})}{dx}=2*2e^{2x}=4e^{2x}$

Aplicamos definición o expresión del polinomio de Taylor: con n=1,2 y a=0

$f(a)+\frac{f^{'}(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{''}(a)}{2!}(x-a)^{2}$

Evaluando en xo=0 en la función obtenemos el Polinomio buscado:

$f(0)+\frac{f^{'}(0)}{1!}(x-0)+\frac{f^{''}(0)}{2!}(x-0)^{2}$

Lo que nos queda:

$P(x) = e^{2(0)}+ 2e^{2(0)}(x)+ \frac{4e^{2(0)} }{2}(x)^{2}$

Arreglando el resultado obtenemos el polinomio buscado:

$P(x) = 1+2x+2x^{2}$