Question

(k+3)x^2+2k(x+1)+3=0

hallar el valor de k para que una raiz sea igual a la mitad del reciproco de la otra

Answer 1

Sabemos que podemos encontrar las raíces de un polinomio de segundo grado con la resolvente:

sea el polinomio: $ax^{2} -bx+c$

sus raíces son:

$x_{1} = \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{2} = \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Primero desarrollamos el polinomio:

$(k+3)x^{2} +(2k)x+(2k+3)$ , por lo tanto:

- a= k+3

- b= 2k

- c= 2k+3

Por lo que las raíces del polinomio dado son:

$x_{1} = \frac{-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}$

$x_{2} = \frac{-2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}$

Reciproco: Dado un número "a" el reciproco de "a" es número "b", tal que a*b = 1. Para el conjunto de los reales el reciproco de a es 1/a.

Quiero que la segunda raíz sea igual a la mitad del reciproco de la otra:

$\frac{1}{2(x_{2})}$

$(-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)})*(-2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)})=(k+3)*2(k+3)$

$(-2k)^{2}-(\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)})^{2}=2*(k+3)^{2}$

$4k^{2}-(4k^{2}-4(k+3)(2k+3))=2*(k^{2} +6k+9)$

$4k^{2}-4k^{2}+4(k+3)(2k+3))=2k^{2} +12k+18$

$(4k+12)(2k+3)=2k^{2} +12k+18$

$8k^{2}+12k+24k+36 = 2k^{2} +12k+18$

$6k^{2}+24k+18 =0$

k= -3 ó k = -1

Se puede probar utilizando que la segunda raíz es la que es la mitad del reciproco de la segunda y obtendremos lo mismo. (pues no es relevante al resolver el sistema, nos queda igual)

Ahora si k= -3, no tendría 2 raíces ya que el polinomio seria de primer grado.

Si k = -1 el polinomio sera:

$(2)x^{2} +(-2)x+(1)$

Que no tiene raíces reales, por lo tanto, queda demostrado que no existe k que cumpla la condición.