Question

A1. Hallar el valor de “m+n”, en la ecuación: x³+mx²+ nx + 7 = 0 , si 1-2√2 es una de sus raíces (m, n son racionales).

(A) -8 (B) -3 (C) -5 (D) -7 (E) Ninguno

Answer 1

RESPUESTA:

Para resolver este ejercicio debemos plantear un teorema referente a las raíces de un polinomio. Tal que:

TEOREMA: Si P(x) = 0 es un polinomio tal que sus coeficientes son racionales y posee una raíz racional, se puede decir que:

a + √b / a ∈ Q ∧√b ∈ Q' ENTONCES LA OTRA RAÍZ ES a-√b

Teniendo esto en cuenta podemos decir entonces que:

x₁ = 1-2√2

x₂ = 1+2√2

Ahora debemos buscar la tercera raíz. Para ello vamos a sustituir cada raíz en la ecuación polinómica.

P(x) = x³+mx²+ nx + 7

P(x₁) = (1-2√2)³ + m·(1-2√2)² + n·(1-2√2) + 7

→ P(x₁) = (25-22√2) + m·(9-4√2) + n·(1-2√2) + 7 ....... (1)

P(x₂) = (1+2√2)³ + m·(1+2√2)² + n·(1+2√2) + 7

→ P(x₂) = (25+22√2) + m·(9+4√2) + n·(1-2√2) + 7 ....... (2)

Para resolver el sistema restamos la ecuación (2)-(1), nos queda:

44√2 + 8√2·m + 4√2·n = 0

Para simplificar sacamos factor común 4√2.

4√2 · ( 11 + 2m + 4n) = 0 → 11 + 2m + 4n → n = -(2m + 11) .....(3)

Sustituimos la ecuación (3) en la ecuación (1), tenemos:

(25-22√2) + m·(9-4√2) - (2m + 11)·(1-2√2) + 7 = 0

Debemos simplificar, para ello resolvemos los paréntesis:

25 - 22√2 + 9m - 4√2 ·m -2m + 4√2·m - 11 + 22√2 + 7 = 0

25 + 9m - 2m - 11 + 7 = 0

m = -3

Sustituimos a m en la ecuación (3) , tenemos:

n = -(2(-3) + 11)

n = -5

Finalmente el valor de m = -3 y n = -5, entonces:

m + n = -3 - 5 = -8

La respuesta correcta es la opción A, m+n = -8.

NOTA: es un ejercicio con mucha aplicación de matemática, debe hacerse con mucho cuidado y poco a poco.